Uma folha de baquelite de 0,2 \mathrm{~mm} de espessura é inserida entre as placas de um capacitor com área de 0,08 \mathrm{~m}^{2}, submetido a uma diferença de potencial de 200 V . Sabendo que a permissividade relativa da baquelite é igual a 7, determine: a) a intensidade do campo elétrico entre as placas; b) a carga nas placas; c) a capacitância.

Passo 1

O enunciado pede três quantidades quando uma folha de baquelite (dielectric) preenche o espaço entre as placas de um capacitor paralelas:
  • (a) a intensidade do campo elétrico entre as placas;
  • (b) a carga nas placas;
  • (c) a capacitância.
Dados fornecidos (todos extraídos do enunciado):
  • espessura da folha (distância entre as placas) \,d=0{,}2\\ \mathrm{mm};
  • área das placas \,A=0{,}08\\ \mathrm{m}^{2};
  • diferença de potencial aplicada \,V=200\\ \mathrm{V};
  • permissividade relativa do material \,\varepsilon_{r}=7.
Observação prática: vou assumir que a folha de baquelite preenche completamente o espaço entre as placas, portanto a separação entre placas é \,d e o campo entre elas é aproximadamente uniforme.

Passo 2

Primeiro converto unidades e lembro a constante física necessária:
  • converter a espessura para metros:
d=0{,}2\\ \mathrm{mm}=0{,}2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • constante de permissividade do vácuo:
\varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • permissividade absoluta do dielétrico:
\varepsilon=\varepsilon_{0}\,\varepsilon_{r}.
Aqui \varepsilon tem unidade \mathrm{F/m} (farad por metro).

Passo 3

Calcular a intensidade do campo elétrico \,E.
Conceito / fórmula: para um capacitor de placas paralelas com campo aproximadamente uniforme, a diferença de potencial entre as placas relaciona-se ao campo por
V=E\,d,
onde
  • V é a diferença de potencial (volts),
  • E é a intensidade do campo elétrico (volts por metro),
  • d é a separação entre placas (metros).
Essa relação vale independentemente de haver dielétrico preenchendo o espaço, desde que o dielétrico preencha todo o espaço e o campo seja uniforme: a diferença de potencial é a integral do campo ao longo da distância, que aqui é simplesmente E\,d.
Logo
E=\frac{V}{d}.
Substituindo números (usei d convertido no passo 2):
E=\frac{200}{2{,}0\times10^{-4}}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Interpretação numérica: o campo entre as placas vale \,1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m} (um milhão de volts por metro).

Passo 4

Calcular a carga nas placas Q.
Conceito / fórmula: em presença de um dielétrico homogêneo cheio entre as placas, a densidade de deslocamento elétrico \mathbf{D} é dada por
\mathbf{D}=\varepsilon\,\mathbf{E}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\,\mathbf{E}.
Para placas paralelas a densidade de carga livre na superfície da placa (módulo) é igual à componente normal de \mathbf{D}, ou seja
\sigma_{\text{livre}}=D=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}E.
A carga total na placa é essa densidade multiplicada pela área:
Q=\sigma_{\text{livre}}\,A=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}E\,A.
Vou calcular em dois passos intermediários para ficar bem claro.
Calcular \sigma_{\text{livre}}:
\sigma_{\text{livre}}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}E=(8{,}85\times10^{-12})(7)(1{,}0\times10^{6})=6{,}195\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Agora a carga total:
Q=\sigma_{\text{livre}}\,A=(6{,}195\times10^{-5})(0{,}08)=4{,}956\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Arredondando para significância prática, \,Q\approx4{,}96\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, ou seja cerca de 4{,}96\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a capacitância C.
Conceito / fórmula: a capacitância é a razão entre a carga armazenada e a diferença de potencial:
C=\frac{Q}{V}.
Também existe a expressão direta para capacitor de placas paralelas preenchido por dielétrico homogêneo:
C=\frac{\varepsilon A}{d}=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}A}{d}.
Ambas são equivalentes; vou usar a segunda (mais direta).
Substituindo valores:
C=\frac{(8{,}85\times10^{-12})(7)(0{,}08)}{2{,}0\times10^{-4}}.
Faço o numerador primeiro:
(8{,}85\times10^{-12})(7)(0{,}08)=4{,}956\times10^{-12}\\ \mathrm{F\cdot m}.
Dividindo por d:
C=\frac{4{,}956\times10^{-12}}{2{,}0\times10^{-4}}=2{,}478\times10^{-8}\\ \mathrm{F}.
Em unidades mais usuais, isso é 2{,}478\times10^{-8}\\ \mathrm{F}=24{,}78\times10^{-9}\\ \mathrm{F}\approx24{,}8\\ \mathrm{nF}.
Como checagem rápida, usando Q/V:
\frac{4{,}956\times10^{-6}}{200}=2{,}478\times10^{-8}\\ \mathrm{F},
coincide, ótimo.

Passo 6

Resumo final (valores com unidades e interpretação curta):
  • Campo elétrico uniforme grande, \,E=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
  • Carga nas placas da ordem de alguns microcoulombs, \,Q\approx4{,}96\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Capacitância de algumas dezenas de nanofarad, \,C\approx2{,}478\times10^{-8}\\ \mathrm{F} (≈ 24{,}8\\ \mathrm{nF}).
Vai dar tudo certo na prova — lembra: métodos-chave aqui foram E=V/d, \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e C=\varepsilon A/d. Se quiser, faço uma versão mais curta só com cálculos prontos para decorar.

Resposta

E=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}
Q=4{,}956\times10^{-6}\\ \mathrm{C}
C=2{,}478\times10^{-8}\\ \mathrm{F}

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