Um capacitor de 2,00 mu F, inicialmente descarregado, é conectado em série a um resistor de 6,00 k Omega e a uma fonte de fem xi=90,0 V, com resistência interna desprezível. O circuito é conectado no instante t=0. Em qual valor de t a taxa com a qual a energia elétrica está sendo dissipada no resistor é igual à taxa com a qual a energia elétrica está sendo armazenada no capacitor?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. Temos um circuito RC (resistor em série com capacitor) ligado a uma fonte de tensão de ξ=90 V, com R=6,00 kΩ e C=2,00 μF. O capacitor começa descarregado em t=0 quando fechamos o circuito. A questão é: em que instante t a potência dissipada no resistor (energia por segundo que vira calor) é igual à potência que o capacitor está “guardando” (energia por segundo que vai pro campo do capacitor)?
Conteúdo: circuitos RC, carga e corrente no capacitor, potência elétrica e energia armazenada em capacitores.
O que vamos usar:
  • Lei de carregamento do capacitor (i(t) e v_C(t))
  • Fórmulas de potência no resistor e no capacitor
  • Igualar as duas potências e resolver para t

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria do circuito RC: ao fechar o circuito, a corrente decai exponencialmente conforme
i(t)=xiRe^-t/(RC);
E a tensão no capacitor é
vC(t)=xil(1-e^-t/(RC)r);
Agora, potência dissipada no resistor é
PR(t)=i^2(t),R,
Substituindo i(t):
$$P_R(t)=\Bigl(\frac{\xi}{R}e{-t/(RC)}\Bigr)2,R
=\frac{\xi2}{R}e{-2t/(RC)},. $$
Pra potência que o capacitor “absorve”, a gente usa a taxa de variação da energia armazenada nele. A energia no capacitor é
PR(t)=l(xiRe^-t/(RC)r)^2,R =xi^2Re^-2t/(RC),
Logo,
$$P_C(t)=\frac{dU_C}{dt}
=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12C,v_C^2\Bigr)
=C,v_C(t),\frac{dv_C}{dt},. UC(t)=12,C,vC^2(t), ãP_C(t)=v_C(t),i(t)
=\xi\bigl(1-e{-t/(RC)}\bigr)\cdot\frac{\xi}{R}e{-t/(RC)}
=\frac{\xi2}{R}\bigl(e{-t/(RC)}-e^{-2t/(RC)}\bigr),. $$

Passo 3

A condição do enunciado é
PR(t)=PC(t);
Ou seja,
$$\frac{\xi2}{R}e{-2t/(RC)}
=\frac{\xi2}{R}\bigl(e{-t/(RC)}-e^{-2t/(RC)}\bigr),. xi^2Re^-2t/(RC) =xi^2Rl(e^-t/(RC)-e^-2t/(RC)r), e{-2t/(RC)}=e{-t/(RC)}-e^{-2t/(RC)}\quad\Longrightarrow\quad 2e{-2t/(RC)}=e{-t/(RC)},. $$
Dividindo por xi^2/R
e^-2t/(RC)=e^-t/(RC)-e^-2t/(RC)Longrightarrow 2e^-2t/(RC)=e^-t/(RC),
Logo, em forma simbólica:
e^-2t/(RC)

Passo 4

Agora é só colocar R=6{,}00 kΩ e C=2{,}00 μF:
RC=(6,00times10^3 Omega)times(2,00times10^-6 F) =12,0times10^-3 s =0,012 s;
Multiplicando por ln2approx0,6931:
$$t=0{,}012\cdot0{,}6931\approx0{,}00832\ \mathrm s
=8{,}32\ \mathrm{ms},. $$

Resposta

O instante em que a potência dissipada no resistor é igual à potência armazenada no capacitor é
boxedt=RCln2approx8,32 ms,

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