Um capacitor de
, inicialmente descarregado, é conectado em série a um resistor de
e a uma fonte de fem
, com resistência interna desprezível. O circuito é conectado no instante
. Em qual valor de
a taxa com a qual a energia elétrica está sendo dissipada no resistor é igual à taxa com a qual a energia elétrica está sendo armazenada no capacitor?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. Temos um circuito RC (resistor em série com capacitor) ligado a uma fonte de tensão de ξ=90 V, com R=6,00 kΩ e C=2,00 μF. O capacitor começa descarregado em t=0 quando fechamos o circuito. A questão é: em que instante t a potência dissipada no resistor (energia por segundo que vira calor) é igual à potência que o capacitor está “guardando” (energia por segundo que vai pro campo do capacitor)?
Conteúdo: circuitos RC, carga e corrente no capacitor, potência elétrica e energia armazenada em capacitores.
O que vamos usar:
- Lei de carregamento do capacitor (i(t) e v_C(t))
- Fórmulas de potência no resistor e no capacitor
- Igualar as duas potências e resolver para t
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria do circuito RC: ao fechar o circuito, a corrente decai exponencialmente conforme
E a tensão no capacitor é
Agora, potência dissipada no resistor é
Substituindo i(t):
$$P_R(t)=\Bigl(\frac{\xi}{R}e{-t/(RC)}\Bigr)2,R
=\frac{\xi2}{R}e{-2t/(RC)},. $$
Pra potência que o capacitor “absorve”, a gente usa a taxa de variação da energia armazenada nele. A energia no capacitor é
Logo,
$$P_C(t)=\frac{dU_C}{dt}
=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12C,v_C^2\Bigr)
=C,v_C(t),\frac{dv_C}{dt},.
P_C(t)=v_C(t),i(t)
=\xi\bigl(1-e{-t/(RC)}\bigr)\cdot\frac{\xi}{R}e{-t/(RC)}
=\frac{\xi2}{R}\bigl(e{-t/(RC)}-e^{-2t/(RC)}\bigr),. $$
Passo 3
A condição do enunciado é
Ou seja,
$$\frac{\xi2}{R}e{-2t/(RC)}
=\frac{\xi2}{R}\bigl(e{-t/(RC)}-e^{-2t/(RC)}\bigr),.
e{-2t/(RC)}=e{-t/(RC)}-e^{-2t/(RC)}\quad\Longrightarrow\quad 2e{-2t/(RC)}=e{-t/(RC)},. $$
Dividindo por
dá
Logo, em forma simbólica:
Passo 4
Agora é só colocar R=6{,}00 kΩ e C=2{,}00 μF:
Multiplicando por
:
$$t=0{,}012\cdot0{,}6931\approx0{,}00832\ \mathrm s
=8{,}32\ \mathrm{ms},. $$
Resposta
O instante em que a potência dissipada no resistor é igual à potência armazenada no capacitor é