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A lei do decaimento radioativo,
, foi deduzida na hipótese de o número de núcleons - dN que decaem durante o intervalo de tempo dt ser linearmente proporcional ao número N de núcleos que ainda não decaíram. Qual seria a nova lei do decaimento, se se admitir que - dN é quadraticamente proporcional a N ? Neste caso, dê o comportamento da lei nos dois casos limites, mostrando os cálculos:
a)
;
b)
.
A lei do decaimento radioativo,
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a lei do decaimento radioativo, que é normalmente dada por $ N(t) = N_0 e^{-\lambda t}
-dN
N$). Agora, a pergunta quer que a gente descubra qual seria essa lei se
fosse quadraticamente proporcional a
. Além disso, precisamos analisar como essa nova lei se comporta nos casos onde $ t $ é muito pequeno ($ t \ll 1 $) e quando $ t $ é muito grande ($ t \gg 1 $).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que
é linearmente proporcional a
. Isso quer dizer que:
Onde $ \lambda $ é a constante de decaimento. Resolvendo essa equação diferencial, chegamos na famosa lei $ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} $.
Agora, queremos mudar isso para uma proporcionalidade quadrática, ou seja:
Aqui, $ k $ é uma nova constante que representa essa proporcionalidade quadrática.
Passo 3
Vamos resolver essa nova equação diferencial:
Para resolver, separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
A integral de $ \frac{1}{N^2} $ em relação a $ N $ é $ -\frac{1}{N} $, então:
Onde $ C $ é a constante de integração. Vamos resolver para $ N $:
Para encontrar $ C $, usamos a condição inicial. Quando $ t = 0 $, $ N = N_0 $:
Então, substituindo $ C $ de volta:
Invertendo os dois lados para resolver para $ N $:
Então, a nova lei do decaimento, com a proporcionalidade quadrática, é:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dessa lei nos dois casos pedidos:
a) Para $ t \ll 1 $ (t muito pequeno)
Quando $ t $ é muito pequeno, o termo $ k N_0 t $ também é muito pequeno, então $ 1 + k N_0 t \approx 1 $. Assim:
Isso faz sentido, porque em tempos muito pequenos, praticamente nenhum núcleo decaiu.
b) Para $ t \gg 1 $ (t muito grande)
Quando $ t $ é muito grande, o termo $ k N_0 t $ domina sobre o 1, então $ 1 + k N_0 t \approx k N_0 t $. Assim:
Então, para tempos muito grandes, o número de núcleos restantes decai proporcionalmente a $ \frac{1}{t} $, ou seja, diminui de forma inversamente proporcional ao tempo.
Resposta
A nova lei do decaimento, com a proporcionalidade quadrática, é $ N(t) = \frac{N_0}{1 + k N_0 t} $. No caso de $ t \ll 1 $, $ N(t) \approx N_0 $. Para $ t \gg 1 $, $ N(t) \approx \frac{1}{k t} $.