Um capacitor de 10 \mu \mathrm{~F} e um de 40 \mu \mathrm{~F} são conectados em série com uma fonte de 100 V. Qual a energia armazenada em cada um? Qual a carga armazenada em cada um?

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido.
  • Dois capacitores ligados em série a uma fonte de tensão de 100\\ \mathrm{V}.
  • Capacitâncias fornecidas:
    • Capacitor 1: C_1 = 10\\ \mu\mathrm{F}.
    • Capacitor 2: C_2 = 40\\ \mu\mathrm{F}.
  • Perguntas:
    1. Qual a energia armazenada em cada capacitor?
    2. Qual a carga armazenada em cada capacitor?

Passo 2

Conceito importante para ligação em série (explicação didática curta e intuitiva).
Quando capacitores estão ligados em série:
  • A carga elétrica que aparece nas placas internas é a mesma para todos os capacitores em série. Ou seja, a magnitude da carga é igual em cada capacitor; vou chamar essa carga comum de Q.
  • A tensão total da fonte ( V_{\text{total}}) se distribui entre os capacitores: \,V_{\text{total}} = V_1 + V_2, onde V_i é a tensão no capacitor i.
  • A capacitância equivalente \,C_{\text{eq}}\, de capacitores em série é dada por:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.
Explicando a fórmula: C_{\text{eq}} é a capacitância única que, ligada à mesma fonte, teria a mesma carga total; a fórmula acima é a regra padrão para séries (analogia com resistores em paralelo).

Passo 3

Calcular a capacitância equivalente.
Primeiro transformo microfarads para farads:
C_1 = 10\\ \mu\mathrm{F} = 10\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{F},
C_2 = 40\\ \mu\mathrm{F} = 40\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.
Calculo de C_{\text{eq}} por \dfrac{1}{C_{\text{eq}}}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{1{,}0\times10^{-5}}+\frac{1}{4{,}0\times10^{-5}} =1{,}0\times10^{5}+0{,}25\times10^{5}=1{,}25\times10^{5}.
Logo
C_{\text{eq}}=\frac{1}{1{,}25\times10^{5}}=8{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=8\\ \mu\mathrm{F}.
Observação alternativa (mais direta usando produto/soma):
C_{\text{eq}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{(10)(40)}{10+40}\\ \mu\mathrm{F}=\frac{400}{50}\\ \mu\mathrm{F}=8\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 4

Calcular a carga comum Q.
Fórmula que relacãoa carga, capacitância e tensão para um capacitor: Q = C\,V.
No caso da série, a carga comum Q é a carga que fica em cada capacitor e pode ser obtida usando C_{\text{eq}} e a tensão total:
Q = C_{\text{eq}}\;V_{\text{total}}.
Substituindo valores (usando C_{\text{eq}}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{F} e V_{\text{total}}=100\\ \mathrm{V}):
Q = 8{,}0\times10^{-6}\times100 = 8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Convertendo para microcoulombs:
Q = 8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{C} = 800\\ \mu\mathrm{C}.
Portanto a carga armazenada em cada capacitor é a mesma:
Q_1 = Q_2 = 800\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a tensão em cada capacitor (para usar na energia) e conferir consistência.
Usa-se V_i = Q/C_i. Com Q=8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{C}:
V_1 = \frac{Q}{C_1}=\frac{8{,}0\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-5}}=80\\ \mathrm{V},
V_2 = \frac{Q}{C_2}=\frac{8{,}0\times10^{-4}}{4{,}0\times10^{-5}}=20\\ \mathrm{V}.
Verificação: V_1+V_2=80+20=100\\ \mathrm{V}=V_{\text{total}}. Tudo consistente.

Passo 6

Fórmulas para energia armazenada em um capacitor e aplicação numérica (aulasobre a fórmula).
A energia armazenada em um capacitor pode ser calculada por qualquer uma das fórmulas equivalentes:
\boxed{\,U=\frac{1}{2}CV^2\,}
ou, usando Q=CV,
\boxed{\,U=\frac{Q^2}{2C}\,}.
Aqui U é a energia em joules, C a capacitância em farads e V a tensão em volts. Vou usar a forma U=\tfrac{1}{2}C V^2 porque já calculei as tensões em cada capacitor.
Calculo para o capacitor de 10\\ \mu\mathrm{F} ( C_1=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{F}, V_1=80\\ \mathrm{V}):
U_1=\frac{1}{2}C_1V_1^{2}=\frac{1}{2}\times1{,}0\times10^{-5}\times80^{2} =\;0{,}5\times10^{-5}\times6400.
Continuando a conta:
0{,}5\times10^{-5}\times6400=0{,}5\times6400\times10^{-5}=3200\times10^{-5}=3{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{J}.
Ou seja,
U_1=0{,}032\\ \mathrm{J}.
Calculo para o capacitor de 40\\ \mu\mathrm{F} ( C_2=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{F}, V_2=20\\ \mathrm{V}):
U_2=\frac{1}{2}C_2V_2^{2}=\frac{1}{2}\times4{,}0\times10^{-5}\times20^{2} =2{,}0\times10^{-5}\times400.
Continuando:
2{,}0\times10^{-5}\times400=800\times10^{-5}=8{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Ou seja,
U_2=0{,}008\\ \mathrm{J}.
Checagem rápida: energia total U_{\text{tot}}=U_1+U_2=0{,}032+0{,}008=0{,}040\\ \mathrm{J}. Isso coincide com U_{\text{tot}}=\tfrac{1}{2}C_{\text{eq}}V_{\text{total}}^{2}=\tfrac{1}{2}\times8{,}0\times10^{-6}\times100^{2}=0{,}04\\ \mathrm{J}.
Comentário didático final: o capacitor menor ( 10\\ \mu\mathrm{F}) fica com maior tensão ( 80\\ \mathrm{V}) e por isso armazena mais energia ( 0{,}032\\ \mathrm{J}) que o maior ( 40\\ \mu\mathrm{F}), que tem tensão menor ( 20\\ \mathrm{V}) e energia menor ( 0{,}008\\ \mathrm{J}), mesmo que a carga seja igual em ambos.

Resposta

Energia: capacitor 10\\ \mu\mathrm{F}: U_1=0{,}032\\ \mathrm{J};; capacitor 40\\ \mu\mathrm{F}: U_2=0{,}008\\ \mathrm{J}.
Carga: capacitor 10\\ \mu\mathrm{F}: Q_1=800\\ \mu\mathrm{C};; capacitor 40\\ \mu\mathrm{F}: Q_2=800\\ \mu\mathrm{C}.

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