Um capacitor de 100 pF é carregado com uma diferença de potencial de 50 V e a bateria usada para arregar o capacitor é desligada. Em seguida, o capacitor é ligado em paralelo a um segundo capacitor, inicialmente descarregado. Se a diferença de potencial entre as placas do primeiro capacitor cai para 35 V , qual é a capacitância do segundo capacitor?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Informação: o primeiro capacitor tem capacitância
. - Informação: inicialmente esse capacitor está carregado com diferença de potencial
. - Informação: a bateria é desligada (ou seja, o conjunto fica isolado em carga) e então o capacitor
é ligado em paralelo com um segundo capacitor inicialmente descarregado, (valor desconhecido). - Informação: após a conexão, a diferença de potencial entre as placas do primeiro capacitor cai para
. (Como estão em paralelo, esse é o mesmo potencial final em ambos os capacitores.) - Pedido: determinar a capacitância do segundo capacitor
.
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados devagar):
- Definição de carga em um capacitor: a carga
armazenada por um capacitor é dada por
onde
é a capacitância (unidade farad,
) e
é a diferença de potencial entre as placas (unidade volt,
). Aqui
está em coulombs (
). Explicando em palavras: mais capacitância ou mais tensão → mais carga armazenada.
-
Conservação da carga elétrica no circuito isolado: como a bateria foi desligada antes de ligar
e , não há caminho para a carga escapar do sistema; quando se conectam os capacitores em paralelo, a carga total do sistema se conserva. Isso significa que a carga total inicial (toda em , já que estava descarregado) iguala a carga total final (somada em e ). -
Capacitores em paralelo têm a mesma diferença de potencial final: ao ligar em paralelo, os dois capacitores ficam com a mesma
.
Passo 3
Escrevendo a carga inicial (antes de conectar
):
- Como só
está carregado inicialmente, a carga inicial total é a carga de :
Colocando as variáveis do enunciado:
Passo 4
Escrevendo a carga final (após conectar
):
- Após a conexão, ambos os capacitores têm a mesma tensão
. A carga final total é a soma das cargas em cada capacitor:
Passo 5
Aplicando conservação da carga (igualando carga inicial e final):
Agora isolamos
. Passo a passo de manipulação algébrica (cada símbolo explicado):
- Primeiro, expandindo o lado direito está implícito que a carga final é a soma das cargas dos dois capacitores.
- Subtraindo
de ambos os lados para isolar o termo com :
- Colocando
em evidência no lado esquerdo:
- Finalmente, dividindo por
para achar :
Explicando as variáveis nesta fórmula:
e
são as capacitâncias;
é a tensão inicial do primeiro;
é a tensão final comum. A razão
é adimensional e indica a fração da carga transferida para o segundo capacitor relativa à carga remanescente.
Passo 6
Substituindo os valores numéricos e calculando cuidadosamente:
- Substituindo
, , em
temos
- Calculando a diferença e simplificando a fração:
- Portanto
Passo 7
Transformando em valor decimal e conferindo a unidade:
- Calculando
:
- Arredondando de forma prática para a maioria dos problemas de prova:
- Verificação rápida (cheque de consistência): carga inicial
(onde
= picocoulomb). Cargas finais:
Soma
, que confere com a carga inicial. Tudo consistente.