Um capacitor de 100 pF é carregado com uma diferença de potencial de 50 V e a bateria usada para arregar o capacitor é desligada. Em seguida, o capacitor é ligado em paralelo a um segundo capacitor, inicialmente descarregado. Se a diferença de potencial entre as placas do primeiro capacitor cai para 35 V , qual é a capacitância do segundo capacitor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação: o primeiro capacitor tem capacitância C_1 = 100\\ \text{pF}.
  • Informação: inicialmente esse capacitor está carregado com diferença de potencial V_{1i} = 50\\ \text{V}.
  • Informação: a bateria é desligada (ou seja, o conjunto fica isolado em carga) e então o capacitor C_1 é ligado em paralelo com um segundo capacitor inicialmente descarregado, C_2 (valor desconhecido).
  • Informação: após a conexão, a diferença de potencial entre as placas do primeiro capacitor cai para V_f = 35\\ \text{V}. (Como estão em paralelo, esse é o mesmo potencial final em ambos os capacitores.)
  • Pedido: determinar a capacitância do segundo capacitor C_2.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicados devagar):
  • Definição de carga em um capacitor: a carga Q armazenada por um capacitor é dada por
Q = C\,V,
onde C é a capacitância (unidade farad, \text{F}) e V é a diferença de potencial entre as placas (unidade volt, \text{V}). Aqui Q está em coulombs ( \text{C}). Explicando em palavras: mais capacitância ou mais tensão → mais carga armazenada.
  • Conservação da carga elétrica no circuito isolado: como a bateria foi desligada antes de ligar C_1 e C_2, não há caminho para a carga escapar do sistema; quando se conectam os capacitores em paralelo, a carga total do sistema se conserva. Isso significa que a carga total inicial (toda em C_1, já que C_2 estava descarregado) iguala a carga total final (somada em C_1 e C_2).
  • Capacitores em paralelo têm a mesma diferença de potencial final: ao ligar em paralelo, os dois capacitores ficam com a mesma V_f.

Passo 3

Escrevendo a carga inicial (antes de conectar C_2):
  • Como só C_1 está carregado inicialmente, a carga inicial total é a carga de C_1:
Q_{\text{inicial}} = C_1 \, V_{1i}.
Colocando as variáveis do enunciado:
Q_{\text{inicial}} = (100\\ \text{pF}) \cdot (50\\ \text{V}).

Passo 4

Escrevendo a carga final (após conectar C_2):
  • Após a conexão, ambos os capacitores têm a mesma tensão V_f. A carga final total é a soma das cargas em cada capacitor:
Q_{\text{final}} = C_1 \, V_f + C_2 \, V_f = (C_1 + C_2)\, V_f.

Passo 5

Aplicando conservação da carga (igualando carga inicial e final):
C_1 \, V_{1i} = (C_1 + C_2)\, V_f.
Agora isolamos C_2. Passo a passo de manipulação algébrica (cada símbolo explicado):
  • Primeiro, expandindo o lado direito está implícito que a carga final é a soma das cargas dos dois capacitores.
  • Subtraindo C_1 V_f de ambos os lados para isolar o termo com C_2:
C_1\,V_{1i} - C_1\,V_f = C_2\,V_f.
  • Colocando C_1 em evidência no lado esquerdo:
C_1\,(V_{1i} - V_f) = C_2\,V_f.
  • Finalmente, dividindo por V_f para achar C_2:
C_2 = C_1\,\frac{V_{1i} - V_f}{V_f}.
Explicando as variáveis nesta fórmula: C_1 e C_2 são as capacitâncias; V_{1i} é a tensão inicial do primeiro; V_f é a tensão final comum. A razão \dfrac{V_{1i}-V_f}{V_f} é adimensional e indica a fração da carga transferida para o segundo capacitor relativa à carga remanescente.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos e calculando cuidadosamente:
  • Substituindo C_1 = 100\\ \text{pF}, V_{1i} = 50\\ \text{V}, V_f = 35\\ \text{V} em
C_2 = C_1\,\frac{V_{1i} - V_f}{V_f},
temos
C_2 = (100\\ \text{pF}) \cdot \frac{50 - 35}{35}.
  • Calculando a diferença e simplificando a fração:
50 - 35 = 15,
\frac{15}{35} = \frac{3}{7}.
  • Portanto
C_2 = 100\\ \text{pF} \cdot \frac{3}{7} = \frac{300}{7}\\ \text{pF}.

Passo 7

Transformando em valor decimal e conferindo a unidade:
  • Calculando \dfrac{300}{7}:
\frac{300}{7} \approx 42{,}857142\\ \text{pF}.
  • Arredondando de forma prática para a maioria dos problemas de prova:
C_2 \approx 42{,}86\\ \text{pF}.
  • Verificação rápida (cheque de consistência): carga inicial
Q_{\text{inicial}} = 100\\ \text{pF}\times 50\\ \text{V} = 5000\\ \text{pC}
(onde \text{pC} = picocoulomb). Cargas finais:
C_1 V_f = 100\\ \text{pF}\times 35\\ \text{V} = 3500\\ \text{pC},
C_2 V_f \approx 42{,}857\\ \text{pF}\times 35\\ \text{V} \approx 1500\\ \text{pC}.
Soma 3500 + 1500 = 5000\\ \text{pC}, que confere com a carga inicial. Tudo consistente.

Resposta

\dfrac{300}{7}\\ \text{pF} \approx 42{,}86\\ \text{pF}

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