\mathbf{3}^{\boldsymbol{\circ}} \boldsymbol{)}(\mathbf{2}, \mathbf{0 0} pontos) Uma barra feita de material isolante possui uma densidade de carga \lambda=20 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m} e está situada entre x=0 c m e x=20 c m. Determine o trabalho de um agente externo para deslocar uma carga de 10 \mu C do ponto A de abscissa 40 c m até o ponto B de abscissa 60 c m.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por um agente externo para deslocar uma carga do ponto A (abscissa 40\\ \mathrm{cm}) até o ponto B (abscissa 60\\ \mathrm{cm}), sob a ação de uma barra carregada. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
\lambda = 20\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m} = 20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}
\text{barra localizada entre } x=0\\ \mathrm{cm} \text{ e } x=20\\ \mathrm{cm} \Rightarrow L=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}
\text{ponto A: } x_A=40\\ \mathrm{cm}=0,40\\ \mathrm{m}
\text{ponto B: } x_B=60\\ \mathrm{cm}=0,60\\ \mathrm{m}
q = 10\\ \mu\mathrm{C} = 10\times10^{-6}\\ \mathrm{C}
Pergunta: calcular o trabalho do agente externo para mover q de x_A para x_B.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicadinho): o trabalho efetuado por um agente externo, em um deslocamento feito devagar (quase estaticamente), iguala a variação da energia potencial elétrica do sistema. Isso dá a fórmula
W_{\text{ext}}=\Delta U = q\bigl(V(B)-V(A)\bigr),
onde V(x) é o potencial elétrico gerado pela barra no ponto de abscissa x. Explicando cada símbolo:
  • W_{\text{ext}} é o trabalho do agente externo (o que a gente quer).
  • q é a carga que estamos movendo.
  • V(B) e V(A) são os potenciais elétricos nos pontos B e A respectivamente (devidos somente à barra).
    Sinal: se W_{\text{ext}}>0, o agente externo fez trabalho para vencer o campo; se W_{\text{ext}}<0, o campo realizou trabalho e agente externo, na verdade, retirou energia.

Passo 3

Agora precisamos de V(x) para um ponto sobre o mesmo eixo à direita de toda a barra. Construção do potencial por integração (passo a passo):
um elemento de carga da barra é \mathrm{d}q=\lambda\,\mathrm{d}x', com x' variando de 0 a L. O potencial devido a \mathrm{d}q em um ponto x (com x>L) é
\mathrm{d}V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathrm{d}q}{x-x'}.
Integrando sobre a barra:
V(x)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{0}^{L}\frac{\lambda\,\mathrm{d}x'}{x-x'}.
Fazendo a integral (detalhe da integração): \int \frac{\mathrm{d}x'}{x-x'} = -\ln|x-x'|. Avaliando de 0 a L:
V(x)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[-\ln(x-x')\Bigr]_{0}^{L} =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\!\biggl(\frac{x}{\,x-L\,}\biggr).
Observação: esta expressão vale para x>L, que é o nosso caso (pois x_A=0,40\\ \mathrm{m} e x_B=0,60\\ \mathrm{m} e L=0,20\\ \mathrm{m}).

Passo 4

Aplicando W_{\text{ext}}=q\bigl(V(B)-V(A)\bigr) com a expressão de V(x):
V(B)-V(A)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\left[\ln\!\biggl(\frac{x_B}{x_B-L}\biggr)-\ln\!\biggl(\frac{x_A}{x_A-L}\biggr)\right].
Substituindo x_A=0,40\\ \mathrm{m}, x_B=0,60\\ \mathrm{m}, L=0,20\\ \mathrm{m}:
\frac{x_B}{x_B-L}=\frac{0,60}{0,40}=1,5,\qquad \frac{x_A}{x_A-L}=\frac{0,40}{0,20}=2.
Logo
V(B)-V(A)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\bigl(\ln 1,5 - \ln 2\bigr) =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\!\biggl(\frac{1,5}{2}\biggr) =\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln 0,75.
Portanto
W_{\text{ext}}=q\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln 0,75.

Passo 5

Agora os números. Usarei k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
Substituições: \lambda=20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}, q=10\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Então o fator multiplicativo é
q\lambda k = \bigl(10\times10^{-6}\bigr)\bigl(20\times10^{-6}\bigr)\bigl(9\times10^{9}\bigr).
Calcule passo a passo:
10\times20\times9 = 1800,
e as potências de dez:
10^{-6}\times10^{-6}\times10^{9} = 10^{-3}.
Portanto q\lambda k = 1800\times10^{-3}=1,8.
Assim
W_{\text{ext}} = 1,8\cdot \ln 0,75\\ \mathrm{J}.
Agora o número de \ln 0,75: \ln 0,75\approx -0,287682.
Logo
W_{\text{ext}} \approx 1,8\times(-0,287682) \approx -0,5178\\ \mathrm{J}.
Arredondando com sentido prático para duas casas decimais:
W_{\text{ext}}\approx -0,52\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação final (curta e animadora): o resultado é negativo, W_{\text{ext}}<0. Isso significa que o campo elétrico da barra realiza trabalho positivo sobre a carga ao movê-la de A para B; o agente externo, para mover a carga lentamente, precisa retirar energia (ou seja, faz trabalho negativo). Não se assuste: é comum quando a carga positiva se move no sentido que o campo “quer” que ela vá, o agente externo precisa apenas controlar o movimento e extrai energia.

Resposta

-0,52\\ \mathrm{J}

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