Um capacitor de 12.0 \mu \mathrm{~F} é ligado em série com outro de 8.0 \mu \mathrm{~F}; uma diferença de potencial de 200 V é aplicada ao par. (a) Calcule a capacitância equivalente. (b) Qual a carga em cada capacitor? (c) Qual a diferença de potencial em cada capacitor? (d) Repita os itens (a), (b) e (c) com os mesmos capacitores ligados em paralelos.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
Dados fornecidos:
C_1 = 12{,}0\\ \mu\mathrm{F},\qquad C_2 = 8{,}0\\ \mu\mathrm{F},\qquad V_{\text{fonte}} = 200\\ \mathrm{V}.
Perguntas pedidas (para os dois casos — série e paralelo):
(a) Calcular a capacitância equivalente C_{\text{eq}}.
(b) Calcular a carga em cada capacitor.
(c) Calcular a diferença de potencial em cada capacitor.
A primeira parte pede para os capacitores ligados em série; depois repetir (a),(b),(c) com os mesmos capacitores em paralelo.

Passo 2

Conceito básico necessário (a fórmula essencial). A relação fundamental entre carga, capacitância e tensão é
Q = C\,V,
onde Q é a carga armazenada (em coulombs), C é a capacitância (em farads) e V é a diferença de potencial (em volts). Vou usar essa fórmula sempre que precisar ligar carga, capacitância e tensão. Também vamos lembrar que 1\\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\\ \mathrm{F} e que se multiplicarmos \mu\mathrm{F} por volts obtemos \mu\mathrm{C} (microcoulombs).

Passo 3

Fórmulas para capacitores em série (explicação e motivo). Quando dois capacitores estão em série, as cargas que ficam em cada capacitor são iguais (porque a mesma corrente que os carregou passou por ambos), então
Q_1=Q_2=Q.
A capacitância equivalente de dois capacitores em série obedece à relação
\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}.
Uma forma prática e equivalente (para dois capacitores) é
C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}.
Essa fórmula vem da exigência de que a soma das quedas de tensão nos capacitores iguais à tensão total e usando V=Q/C.

Passo 4

Cálculo da capacitância equivalente em série usando os valores dados. Vou usar diretamente unidades em \mu\mathrm{F} (válido desde que interpretado corretamente):
C_{\text{eq (série)}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{12{,}0\cdot 8{,}0}{12{,}0 + 8{,}0}\\ \mu\mathrm{F}.é
Calculo numérico:
\frac{12{,}0\cdot 8{,}0}{20{,}0}=\frac{96{,}0}{20{,}0}=4{,}80\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 5

Cálculo da carga no arranjo em série. A carga comum Q é dada por Q=C_{\text{eq}}V_{\text{fonte}}. Usando unidades \mu\mathrm{F} e \mathrm{V} obtemos \mu\mathrm{C}:
Q = 4{,}80\\ \mu\mathrm{F}\times 200\\ \mathrm{V}=960\\ \mu\mathrm{C}.
Convertendo para coulombs:
960\\ \mu\mathrm{C}=960\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=9{,}60\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Como estão em série, cada capacitor tem a mesma carga: Q_1=Q_2=960\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 6

Cálculo da diferença de potencial em cada capacitor no caso série. Usamos V=Q/C para cada capacitor. Para C_1:
V_1=\frac{Q}{C_1}=\frac{960\\ \mu\mathrm{C}}{12{,}0\\ \mu\mathrm{F}}=80\\ \mathrm{V}.
Para C_2:
V_2=\frac{Q}{C_2}=\frac{960\\ \mu\mathrm{C}}{8{,}0\\ \mu\mathrm{F}}=120\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida: V_1+V_2=80\\ \mathrm{V}+120\\ \mathrm{V}=200\\ \mathrm{V}, que confere com a tensão da fonte.

Passo 7

Interpretação física breve (só para fixar): em série a capacitância equivalente fica menor que cada uma e a mesma carga fica em cada capacitor; por isso o capacitor com menor capacitância (aqui 8{,}0\\ \mu\mathrm{F}) leva maior parte da tensão.

Passo 8

Fórmulas para capacitores em paralelo (explicação). Quando capacitores estão em paralelo, a tensão sobre cada capacitor é a mesma (igual à tensão da fonte):
V_1=V_2=V_{\text{fonte}}.
A capacitância equivalente é a soma direta das capacitâncias:
C_{\text{eq (paralelo)}} = C_1 + C_2.
Isso ocorre porque em paralelo as placas correspondentes se somam em área efetiva, aumentando a capacidade total.

Passo 9

Cálculo da capacitância equivalente em paralelo:
C_{\text{eq (paralelo)}} = 12{,}0\\ \mu\mathrm{F} + 8{,}0\\ \mu\mathrm{F} = 20{,}0\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 10

Cálculo das cargas em cada capacitor no caso paralelo. Como V é o mesmo em cada capacitor, uso Q_i=C_i V.
Para C_1:
Q_1 = 12{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times 200\\ \mathrm{V}=2400\\ \mu\mathrm{C}=2{,}40\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
Para C_2:
Q_2 = 8{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times 200\\ \mathrm{V}=1600\\ \mu\mathrm{C}=1{,}60\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
A carga total armazenada pelo conjunto paralelo é a soma: Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2=4000\\ \mu\mathrm{C}=4{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{C}, que também pode ser obtida por Q_{\text{total}}=C_{\text{eq}}V_{\text{fonte}}.

Passo 11

Diferença de potencial em cada capacitor no caso paralelo. Como expliquei, em paralelo a tensão em cada elemento é igual à tensão da fonte:
V_1=V_2=200\\ \mathrm{V}.

Resposta

(Série) C_{\text{eq}} = 4{,}80\\ \mu\mathrm{F}
(Série) Q_1=Q_2=9{,}60\times10^{-4}\\ \mathrm{C}\; (=960\\ \mu\mathrm{C})
(Série) V_1=80\\ \mathrm{V},\;V_2=120\\ \mathrm{V}
(Paralelo) C_{\text{eq}} = 20{,}0\\ \mu\mathrm{F}
(Paralelo) Q_1=2{,}40\times10^{-3}\\ \mathrm{C}\; (=2400\\ \mu\mathrm{C}),\;Q_2=1{,}60\times10^{-3}\\ \mathrm{C}\; (=1600\\ \mu\mathrm{C})
(Paralelo) V_1=V_2=200\\ \mathrm{V}

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