Um capacitor de placas paralelas com área
e separação
é carregado em vácuo com uma diferença de potencial
. Uma chapa de espessura de constante dielétrica
é introduzida entre as placas. Determine a razão entre a energia do capacitor depois da introdução do dielétrico,
, e a energia do capacitor vazio,
, nas seguintes situações: (a) a bateria é desconectada antes da introdução do dielétrico e (b) a bateria permanece conectada ao capacitor durante a introdução do dielétrico. Dê uma interpretação física para as variações de energia observadas nas duas situações.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor de placas paralelas com área
e separação
carregado no vácuo com diferença de potencial
. Em seguida é inserida entre as placas uma chapa dielétrica de constante
(assumimos que a chapa preenche completamente a região entre as placas). Pede-se a razão entre a energia do capacitor depois da inserção do dielétrico,
, e a energia do capacitor vazio,
, nas duas situações:
(a) a bateria é desconectada antes da introdução do dielétrico;
(b) a bateria permanece conectada durante a introdução do dielétrico.
Informações relevantes fornecidas: . A questão quer explicitamente a razão
em cada caso e uma interpretação física das variações de energia.
(a) a bateria é desconectada antes da introdução do dielétrico;
(b) a bateria permanece conectada durante a introdução do dielétrico.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as fórmulas básicas que usaremos (passo-a-passo e sem pular etapas).
Capacitância de um capacitor de placas paralelas, sem dielétrico, é dada por
Capacitância de um capacitor de placas paralelas, sem dielétrico, é dada por
onde
é a permissividade do vácuo,
a área das placas e
a distância entre elas. Aqui cada símbolo significa:
é uma constante física,
mede a área da placa e
é a separação — quanto maior
e menor
, maior a capacitância.
A energia armazenada num capacitor pode ser escrita de três formas equivalentes; escolhemos as duas que serão úteis:
A energia armazenada num capacitor pode ser escrita de três formas equivalentes; escolhemos as duas que serão úteis:
onde
é a capacitância,
a diferença de potencial entre as placas e
a carga armazenada. Essas fórmulas vêm da definição de trabalho para carregar o capacitor incrementalmente e são intercambiáveis usando
.
Passo 3
Calculemos a capacitância inicial e a energia inicial (antes da introdução do dielétrico). Com as fórmulas do passo anterior:
A carga inicial, quando o capacitor está ligado à bateria que fornece
, é
A energia inicial armazenada (no capacitor vazio) é convenientemente escrita como
Aqui está claro o que é cada termo:
depende de
e do quadrado da tensão aplicada
.
Passo 4
Quando a chapa de constante dielétrica
preenche completamente o espaço entre as placas, a nova capacitância passa a ser
Explicação física curta: o dielétrico reduz o campo interno para a mesma carga, ou alternativamente permite armazenar mais carga para a mesma tensão; isso aumenta a capacitância por um fator
.
Passo 5
Neste caso a carga
do capacitor é mantida constante porque o circuito está isolado. Vamos calcular a energia final usando
fixo e
aumentado.
A carga inicial (e que permanece) é
A energia após a inserção, usando a forma
, é
Agora simplificamos passo a passo: no numerador temos
e no denominador
; cancelando um fator
obtemos
Mas lembramos que
, logo
Portanto a razão pedida é
Interpretação física (didática e direta): com a bateria desligada, a carga não pode mudar. A presença do dielétrico aumenta a capacitância, e com
fixo a energia armazenada diminui. Essa diminuição de energia não some: ela vira trabalho mecânico realizado pelo campo elétrico sobre a chapa dielétrica (isto é, a chapa é atraída para dentro do capacitor e energia é liberada como trabalho — por exemplo, se deixarmos a chapa deslizar ela ganha energia cinética, ou se a introduzirmos lentamente essa energia é entregue a quem segura a chapa).
Passo 6
Agora a diferença de potencial entre as placas permanece igual a
porque a bateria mantém a tensão constante. A nova capacitância é
. Portanto a nova energia, usando
, é
Comparando com
obtemos
e assim
Interpretação física (didática e direta): com a bateria conectada, a tensão permanece fixa e a capacitância aumenta, então o capacitor armazena mais energia. Essa energia extra não aparece do nada: a bateria fornece carga adicional ao capacitor, entregando energia elétrica. Podemos quantificar o trabalho fornecido pela bateria: a carga aumentou de
para
, então
e o trabalho feito pela bateria é
Como
, temos
. Deste trabalho, uma parte
fica armazenada no campo (aumenta a energia do capacitor) e a outra parte
é o trabalho realizado pelo campo sobre a chapa (o campo puxa a chapa para dentro). Se quisermos inserir a chapa lentamente, alguém tem de extrair essa energia mecânica (ou seja, é preciso fazer trabalho negativo sobre a chapa) — portanto energia flui da bateria para parte do armazenamento e parte sai como trabalho mecânico.
Passo 7
Resumo rápido e motivador: em linguagem direta, quando o circuito está isolado a energia do capacitor cai porque o dielétrico permite armazenar a mesma carga com menos energia; quando a bateria está conectada a energia aumenta porque a bateria empurra carga extra para dentro do capacitor.
Resposta
(a)
(b)
(b)