Um capacitor de placas paralelas com área A e separação d é carregado em vácuo com uma diferença de potencial \Delta V_{0}. Uma chapa de espessura de constante dielétrica K é introduzida entre as placas. Determine a razão entre a energia do capacitor depois da introdução do dielétrico, U, e a energia do capacitor vazio, U_{0}, nas seguintes situações: (a) a bateria é desconectada antes da introdução do dielétrico e (b) a bateria permanece conectada ao capacitor durante a introdução do dielétrico. Dê uma interpretação física para as variações de energia observadas nas duas situações.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas com área A e separação d carregado no vácuo com diferença de potencial \Delta V_{0}. Em seguida é inserida entre as placas uma chapa dielétrica de constante \!K (assumimos que a chapa preenche completamente a região entre as placas). Pede-se a razão entre a energia do capacitor depois da inserção do dielétrico, U, e a energia do capacitor vazio, U_{0}, nas duas situações:
(a) a bateria é desconectada antes da introdução do dielétrico;
(b) a bateria permanece conectada durante a introdução do dielétrico.
Informações relevantes fornecidas: \;A,\;d,\;\Delta V_{0},\;K. A questão quer explicitamente a razão U/U_{0} em cada caso e uma interpretação física das variações de energia.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as fórmulas básicas que usaremos (passo-a-passo e sem pular etapas).
Capacitância de um capacitor de placas paralelas, sem dielétrico, é dada por
C_{0}=\frac{\varepsilon_{0}A}{d},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo, A a área das placas e d a distância entre elas. Aqui cada símbolo significa: \varepsilon_{0} é uma constante física, A mede a área da placa e d é a separação — quanto maior A e menor d, maior a capacitância.
A energia armazenada num capacitor pode ser escrita de três formas equivalentes; escolhemos as duas que serão úteis:
U=\frac{1}{2}C V^{2} \quad\text{ou}\quad U=\frac{Q^{2}}{2C},
onde C é a capacitância, V a diferença de potencial entre as placas e Q a carga armazenada. Essas fórmulas vêm da definição de trabalho para carregar o capacitor incrementalmente e são intercambiáveis usando Q=CV.

Passo 3

Calculemos a capacitância inicial e a energia inicial (antes da introdução do dielétrico). Com as fórmulas do passo anterior:
C_{0}=\frac{\varepsilon_{0}A}{d}.
A carga inicial, quando o capacitor está ligado à bateria que fornece \Delta V_{0}, é
Q=C_{0}\,\Delta V_{0}.
A energia inicial armazenada (no capacitor vazio) é convenientemente escrita como
U_{0}=\frac{1}{2}C_{0}\,\Delta V_{0}^{2}.
Aqui está claro o que é cada termo: U_{0} depende de C_{0} e do quadrado da tensão aplicada \Delta V_{0}.

Passo 4

Quando a chapa de constante dielétrica K preenche completamente o espaço entre as placas, a nova capacitância passa a ser
C = K C_{0} = K\frac{\varepsilon_{0}A}{d}.
Explicação física curta: o dielétrico reduz o campo interno para a mesma carga, ou alternativamente permite armazenar mais carga para a mesma tensão; isso aumenta a capacitância por um fator K.

Passo 5

Neste caso a carga Q do capacitor é mantida constante porque o circuito está isolado. Vamos calcular a energia final usando Q fixo e C aumentado.
A carga inicial (e que permanece) é
Q = C_{0}\,\Delta V_{0}.
A energia após a inserção, usando a forma U=Q^{2}/(2C), é
U=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{(C_{0}\,\Delta V_{0})^{2}}{2\,K C_{0}}.
Agora simplificamos passo a passo: no numerador temos C_{0}^{2}\,\Delta V_{0}^{2} e no denominador 2K C_{0}; cancelando um fator C_{0} obtemos
U=\frac{C_{0}\,\Delta V_{0}^{2}}{2K}.
Mas lembramos que U_{0}=\dfrac{1}{2}C_{0}\,\Delta V_{0}^{2}, logo
U=\frac{1}{K}U_{0}.
Portanto a razão pedida é
\frac{U}{U_{0}}=\frac{1}{K}.
Interpretação física (didática e direta): com a bateria desligada, a carga não pode mudar. A presença do dielétrico aumenta a capacitância, e com Q fixo a energia armazenada diminui. Essa diminuição de energia não some: ela vira trabalho mecânico realizado pelo campo elétrico sobre a chapa dielétrica (isto é, a chapa é atraída para dentro do capacitor e energia é liberada como trabalho — por exemplo, se deixarmos a chapa deslizar ela ganha energia cinética, ou se a introduzirmos lentamente essa energia é entregue a quem segura a chapa).

Passo 6

Agora a diferença de potencial entre as placas permanece igual a \Delta V_{0} porque a bateria mantém a tensão constante. A nova capacitância é C=K C_{0}. Portanto a nova energia, usando U=\tfrac{1}{2}C V^{2}, é
U=\frac{1}{2}C\,\Delta V_{0}^{2}=\frac{1}{2}K C_{0}\,\Delta V_{0}^{2}.
Comparando com U_{0}=\tfrac{1}{2}C_{0}\,\Delta V_{0}^{2} obtemos
U=K\,U_{0}
e assim
\frac{U}{U_{0}}=K.
Interpretação física (didática e direta): com a bateria conectada, a tensão permanece fixa e a capacitância aumenta, então o capacitor armazena mais energia. Essa energia extra não aparece do nada: a bateria fornece carga adicional ao capacitor, entregando energia elétrica. Podemos quantificar o trabalho fornecido pela bateria: a carga aumentou de C_{0}\Delta V_{0} para K C_{0}\Delta V_{0}, então \Delta Q=(K-1)C_{0}\Delta V_{0} e o trabalho feito pela bateria é
W_{\text{bateria}}=\Delta V_{0}\,\Delta Q=\Delta V_{0}\,(K-1)C_{0}\Delta V_{0}=(K-1)C_{0}\,\Delta V_{0}^{2}.
Como \,C_{0}\Delta V_{0}^{2}=2U_{0}\,, temos W_{\text{bateria}}=2(K-1)U_{0}. Deste trabalho, uma parte \Delta U=(K-1)U_{0} fica armazenada no campo (aumenta a energia do capacitor) e a outra parte
W_{\text{campo sobre chapa}}=W_{\text{bateria}}-\Delta U=(K-1)U_{0}
é o trabalho realizado pelo campo sobre a chapa (o campo puxa a chapa para dentro). Se quisermos inserir a chapa lentamente, alguém tem de extrair essa energia mecânica (ou seja, é preciso fazer trabalho negativo sobre a chapa) — portanto energia flui da bateria para parte do armazenamento e parte sai como trabalho mecânico.

Passo 7

Resumo rápido e motivador: em linguagem direta, quando o circuito está isolado a energia do capacitor cai porque o dielétrico permite armazenar a mesma carga com menos energia; quando a bateria está conectada a energia aumenta porque a bateria empurra carga extra para dentro do capacitor.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{U}{U_{0}}=\frac{1}{K}
(b) \displaystyle \frac{U}{U_{0}}=K

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