Considere dois planos perpendiculares uniformemente carregados com densidade superficiais de carga
e colocados nos planos xz e yz do sistema de coordenadas cartesiano. (i) Determine o potencial elétrico num ponto P no plano xy ; (ii) Determine o campo elétrico num ponto P .
Passo 1
O enunciado dá duas placas infinitas, carregadas uniformemente com densidade superficial
, colocadas nos planos
e
. Estas placas correspondem geometricamente aos planos
(plano
) e
(plano
). O ponto
está no plano
, isto é, em coordenadas
.
As perguntas são: (i) determinar o potencial elétrico em ; (ii) determinar o campo elétrico em
.
Informações relevantes dadas: densidade superficial ; placas infinitas nos planos
e
; queremos
e
. Não foi fornecida uma referência de potencial, então podemos escolher uma (por exemplo
).
As perguntas são: (i) determinar o potencial elétrico em
Informações relevantes dadas: densidade superficial
Passo 2
Vamos lembrar e demonstrar a fórmula do campo elétrico produzido por uma placa infinita com densidade superficial de carga
. Isso é útil porque cada placa gera um campo simples e a solução será pela superposição. A lei que usamos é a Lei de Gauss:
onde
é a permissividade do vácuo. Considere uma placa infinita no plano
. Use uma caixa gaussiana “paralelepípedo” simétrica com faces paralelas à placa, com área
nas faces superiores e inferiores e altura atravessando a placa. O fluxo passa apenas pelas duas faces (as laterais têm
paralelo e não contribuem). A carga encerrada é
. Assim,
Cancelando
obtemos o módulo do campo fora da placa:
Direção: o campo aponta para fora da superfície carregada (isto é, para
quando
e para
quando
). Logo, para a placa em
temos, em termos de sinal,
onde
se
,
se
(em
o campo tem descontinuidade — veremos isso depois).
Passo 3
Análogo para a placa em
(plano
): por simetria o módulo do campo gerado também é
e a direção é ao longo de
, apontando para fora do plano. Assim
Explicação do sinal: se
o ponto está no lado positivo da placa em
e o campo da placa em
aponta para
; se
aponta para
.
Passo 4
Pela princípio da superposição (campos elétricos de distribuições lineares/superficiais somam-se vetorialmente), o campo total no ponto
é a soma dos campos das duas placas:
Isto é a expressão do campo em qualquer ponto do plano
, exceto exatamente sobre as superfícies carregadas (
ou
) onde cada contribuição individual tem descontinuidade. Observação prática para prova: para pontos exatamente sobre
ou
costuma-se usar o valor médio das duas faces (por exemplo, o valor do campo normal a uma superfície carregada tem salto
, então a média das duas laterais dá
). Mas para
e
a fórmula acima é totalmente clara.
Passo 5
Agora determinamos o potencial
. Lembra que existe a relação entre campo e potencial:
ou em componentes
e
. Aqui cada contribuição é constante em sua região (entre as placas), então
varia linearmente com
e
. Podemos obter o potencial somando as contribuições das duas placas (ou integrando o campo). Escolhendo a referência
(opção conveniente), calculemos a contribuição da placa em
:
Ao integrar a função
obtemos
. O resultado é
De modo semelhante, a placa em
dá
Somando as duas contribuições (superposição de potenciais) e usando
como constante de integração, obtemos o potencial total no ponto
:
Verificação rápida: calcule
. Temos
e análogo para
, o que reproduz
do Passo 4.
Passo 6
Comentários finais e cuidado com descontinuidades:
- A fórmula para
vale para e . Em ou cada componente do campo tem descontinuidade; fisicamente o campo normal à superfície carregada salta de para atravessando a placa, e o valor exatamente sobre a superfície pode ser tratado como a média dos dois lados ( naquele componente específica se as duas faces cancelarem). - A escolha
foi uma conveniência; qualquer constante pode ser adicionada ao potencial sem alterar .