Considere dois planos perpendiculares uniformemente carregados com densidade superficiais de carga \sigma e colocados nos planos xz e yz do sistema de coordenadas cartesiano. (i) Determine o potencial elétrico num ponto P no plano xy ; (ii) Determine o campo elétrico num ponto P .

Passo 1

O enunciado dá duas placas infinitas, carregadas uniformemente com densidade superficial \sigma, colocadas nos planos xz e yz. Estas placas correspondem geometricamente aos planos y=0 (plano xz) e x=0 (plano yz). O ponto P está no plano xy, isto é, em coordenadas P=(x,y,0).
As perguntas são: (i) determinar o potencial elétrico em P; (ii) determinar o campo elétrico em P.
Informações relevantes dadas: densidade superficial \sigma; placas infinitas nos planos x=0 e y=0; queremos V(x,y,0) e \vec E(x,y,0). Não foi fornecida uma referência de potencial, então podemos escolher uma (por exemplo V(0,0,0)=0).

Passo 2

Vamos lembrar e demonstrar a fórmula do campo elétrico produzido por uma placa infinita com densidade superficial de carga \sigma. Isso é útil porque cada placa gera um campo simples e a solução será pela superposição. A lei que usamos é a Lei de Gauss:
\Phi=\oint \vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0},
onde \epsilon_0 é a permissividade do vácuo. Considere uma placa infinita no plano y=0. Use uma caixa gaussiana “paralelepípedo” simétrica com faces paralelas à placa, com área A nas faces superiores e inferiores e altura atravessando a placa. O fluxo passa apenas pelas duas faces (as laterais têm \vec E paralelo e não contribuem). A carga encerrada é Q_{\text{int}}=\sigma A. Assim,
E_{\text{fora}}A + E_{\text{fora}}A = \frac{\sigma A}{\epsilon_0}\quad\Rightarrow\quad 2E_{\text{fora}}A=\frac{\sigma A}{\epsilon_0}.
Cancelando A obtemos o módulo do campo fora da placa:
E_{\text{fora}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}.
Direção: o campo aponta para fora da superfície carregada (isto é, para \hat y quando y>0 e para -\hat y quando y<0). Logo, para a placa em y=0 temos, em termos de sinal,
\vec E_{y\text{-placa}}(x,y,z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,\operatorname{sgn}(y)\,\hat y,
onde \operatorname{sgn}(y)=+1 se y>0, -1 se y<0 (em y=0 o campo tem descontinuidade — veremos isso depois).

Passo 3

Análogo para a placa em x=0 (plano yz): por simetria o módulo do campo gerado também é \sigma/(2\epsilon_0) e a direção é ao longo de \hat x, apontando para fora do plano. Assim
\vec E_{x\text{-placa}}(x,y,z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,\operatorname{sgn}(x)\,\hat x.
Explicação do sinal: se x>0 o ponto está no lado positivo da placa em x=0 e o campo da placa em x=0 aponta para +\hat x; se x<0 aponta para -\hat x.

Passo 4

Pela princípio da superposição (campos elétricos de distribuições lineares/superficiais somam-se vetorialmente), o campo total no ponto P=(x,y,0) é a soma dos campos das duas placas:
\vec E(x,y,0)=\vec E_{x\text{-placa}}+\vec E_{y\text{-placa}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,\big(\operatorname{sgn}(x)\,\hat x+\operatorname{sgn}(y)\,\hat y\big).
Isto é a expressão do campo em qualquer ponto do plano z=0, exceto exatamente sobre as superfícies carregadas ( x=0 ou y=0) onde cada contribuição individual tem descontinuidade. Observação prática para prova: para pontos exatamente sobre x=0 ou y=0 costuma-se usar o valor médio das duas faces (por exemplo, o valor do campo normal a uma superfície carregada tem salto \sigma/\epsilon_0, então a média das duas laterais dá \pm\sigma/(2\epsilon_0)). Mas para x\neq0 e y\neq0 a fórmula acima é totalmente clara.

Passo 5

Agora determinamos o potencial V. Lembra que existe a relação entre campo e potencial:
\vec E=-\nabla V,
ou em componentes \,E_x=-\partial V/\partial x e E_y=-\partial V/\partial y. Aqui cada contribuição é constante em sua região (entre as placas), então V varia linearmente com x e y. Podemos obter o potencial somando as contribuições das duas placas (ou integrando o campo). Escolhendo a referência V(0,0,0)=0 (opção conveniente), calculemos a contribuição da placa em x=0:
V_{x}(x)=-\int_{0}^{x} E_x(x')\,dx'=-\int_{0}^{x}\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\operatorname{sgn}(x')\,dx'.
Ao integrar a função \operatorname{sgn}(x') obtemos |x|. O resultado é
V_{x}(x)=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,|x|.
De modo semelhante, a placa em y=0
V_{y}(y)=-\int_{0}^{y} E_y(y')\,dy'=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,|y|.
Somando as duas contribuições (superposição de potenciais) e usando V(0,0)=0 como constante de integração, obtemos o potencial total no ponto P=(x,y,0):
V(x,y,0)=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\big(|x|+|y|\big).
Verificação rápida: calcule -\nabla V. Temos -\partial V/\partial x=(\sigma/(2\epsilon_0))\operatorname{sgn}(x) e análogo para y, o que reproduz \vec E do Passo 4.

Passo 6

Comentários finais e cuidado com descontinuidades:
  • A fórmula para \vec E vale para x\neq0 e y\neq0. Em x=0 ou y=0 cada componente do campo tem descontinuidade; fisicamente o campo normal à superfície carregada salta de -\sigma/(2\epsilon_0) para +\sigma/(2\epsilon_0) atravessando a placa, e o valor exatamente sobre a superfície pode ser tratado como a média dos dois lados ( 0 naquele componente específica se as duas faces cancelarem).
  • A escolha V(0,0,0)=0 foi uma conveniência; qualquer constante pode ser adicionada ao potencial sem alterar \vec E.

Resposta

V(x,y,0)=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\big(|x|+|y|\big)\n
\displaystyle \vec E(x,y,0)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,\big(\operatorname{sgn}(x)\,\hat x+\operatorname{sgn}(y)\,\hat y\big)

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