Um capacitor de 2200 pF é carregado a 120 V e então rapidamente conectado a um indutor e o circuito passa a oscilar com frequência de 19 kHz .
a) Qual a corrente de pico, em \mathbf{m A}, no circuito? Use PONTO para separar os decimais.
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b) Qual é a energia máxima armazenada no indutor, em \mu \mathrm{J} (ou 10^{-6} \mathrm{~J} )? Use PONTO para separar os decimais.
\square

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a corrente de pico no circuito, em \mathrm{mA};
  • (b) a energia máxima armazenada no indutor, em \mu\mathrm{J}.
Dados fornecidos (peguei os valores do enunciado):
C = 2200\\ \text{pF} = 2200\times10^{-12}\\ \text{F} = 2{,}2\times10^{-9}\\ \text{F},
V_0 = 120\\ \text{V},
f = 19\\ \text{kHz} = 19000\\ \text{Hz}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula básica: quando o capacitor carregado é ligado ao indutor e o circuito LC oscila sem perdas ideais, a energia passa do capacitor para o indutor e vice-versa. No instante de pico da corrente toda a energia inicialmente no capacitor está no indutor. Assim:
\frac{1}{2}C V_0^2 = \frac{1}{2}L I_{\max}^2.
Dessa igualdade segue
I_{\max} = V_0\sqrt{\frac{C}{L}}.
Aqui \,I_{\max}\, é a corrente de pico que queremos, C é a capacitância, L a indutância e V_0 a tensão inicial no capacitor.

Passo 3

Relação entre frequência de oscilação e os valores L e C: a frequência própria de um circuito LC ideal é
f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Isolando L obtemos
L=\frac{1}{(2\pi f)^2 C}.

Passo 4

Substituímos L da expressão acima na fórmula de I_{\max} para eliminar L e ficar em termos de f, C e V_0. Fazendo a álgebra:
I_{\max}=V_0\sqrt{\frac{C}{L}} =V_0\sqrt{C\cdot(2\pi f)^2 C} =V_0\,(2\pi f)\,C.
Explicação rápida do passo: \frac{1}{L}=(2\pi f)^2 C, então \sqrt{\frac{C}{L}}=\sqrt{C\cdot(2\pi f)^2 C}=(2\pi f)C. Essa forma é prática porque evita calcular L primeiro.

Passo 5

Cálculo numérico de I_{\max}. Substituindo os valores:
I_{\max}=V_0\,(2\pi f)\,C =120\cdot(2\pi)\cdot19000\cdot(2{,}2\times10^{-9})\\ \text{A}.
Vamos calcular em etapas (mostrando as contas para você poder reproduzir sem calculadora em parte):
2\pi \approx 6{,}283185307,
2\pi f \approx 6{,}283185307\times19000 \approx 119380{,}5208\\ \text{s}^{-1},
(2\pi f)C \approx 119380{,}5208\times2{,}2\times10^{-9} \approx 2{,}62637146\times10^{-4}\\ \text{A/V},
I_{\max}=120\times2{,}62637146\times10^{-4}\\ \text{A} \approx 3{,}15164575\times10^{-2}\\ \text{A}.
Convertendo para miliampères ( 1\\ \text{A}=1000\\ \text{mA}):
I_{\max}\approx31{,}52\\ \text{mA}.
(Arredondei para duas casas decimais, usando ponto como separador decimal.)

Passo 6

Cálculo da energia máxima no indutor: como essa energia é igual à energia inicial no capacitor,
U_{\max}=\frac{1}{2}C V_0^2.
Substituindo números:
U_{\max}=\frac{1}{2}\times2{,}2\times10^{-9}\times(120)^2\\ \text{J}.
Calculemos:
(120)^2=14400,
\frac{1}{2}C = 1{,}1\times10^{-9},
U_{\max}=1{,}1\times10^{-9}\times14400 = 1{,}584\times10^{-5}\\ \text{J}.
Convertendo para microjoules ( 1\\ \mu\text{J}=10^{-6}\\ \text{J}):
U_{\max}=15{,}84\\ \mu\text{J}.

Resposta

a)\\\ 31{,}52\\ \text{mA}
b)\\\ 15{,}84\\ \mu\text{J}

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