(
pontos) Uma chapa de aço plana com
encontra-se deitada na horizontal sobre o plano
. Usando um dos vértices da chapa de aço como a origem do nosso sistema de coordenadas, temos a força
aplicada na posição
; a força
aplicada na posição
; e a força
aplicada na posição
.
a) (
pontos) Calcule o vetor força resultante
atuando sobre a chapa de aço, e sua intensidade.
Solução:
A força resultante
é a soma de todas as forças atuando sobre a chapa
A intensidade de
é a norma do vetor:
b) ( 4 pontos) Calcule o momento de cada uma das forças em relação à origem do sistema de coordenadas, e o momento resultante
, atuando sobre a chapa de aço.
Solução:
O momento de cada uma das forças pode ser calculado com
Então
O momento resultante é a soma de todos os momentos:
c) (
pontos) O momento resultante pode ser decomposto em uma componente paralela e uma componente perpendicular à
. Determine a forma vetorial e a intensidade de cada uma dessas componentes.
Solução:
A componente do momento resultante paralela à
pode ser calculado com:
sendo
o vetor unitário na direção de
Então:
e, portanto
A intensidade de
é:
Já a componente do momento resultante perpendicular a
pode ser calculado com:
e sua intensidade é:
d) ( 4 pontos) Encontre o torsor que substitui todas as três forças, e encontre o passo do torsor.
Solução:
O torsor é um sistema força-binário formado pelos vetores força resultante
e a componente do momento
.
O passo do torsor
pode ser encontrado com:
e) (
pontos ) Encontre o ponto de aplicação do torsor sobre o plano
. Faça um esboço da placa, indicando o ponto de aplicação do torsor.
Solução:
O ponto de aplicação do torsor sobre o plano
está em uma posição
, de tal forma que
Sendo assim,
a) (
A força resultante
O passo do torsor
Passo 1
O enunciado pede as partes (a) a (e). Vou listar claramente o que é solicitado e os dados fornecidos.
Pedidos:
- (a) Calcular o vetor força resultante
atuando sobre a chapa e sua intensidade. - (b) Calcular o momento de cada força em relação à origem e o momento resultante
. - (c) Decompor
em uma componente paralela e uma componente perpendicular a ; dar formas vetoriais e intensidades. - (d) Determinar o torsor que substitui as três forças e o passo (pitch) do torsor.
- (e) Encontrar o ponto de aplicação do torsor sobre o plano
(isto é, ).
Dados (pego do enunciado):
Observação: todas as componentes numéricas usarão a unidade dada (
para forças e
para momentos).
Passo 2
Calcular a força resultante
pela soma componente a componente — regra básica de soma de vetores.
Explicação curta da operação: somamos as componentes
com
,
com
e
com
.
Somando:
Componentes:
Logo
Intensidade (norma) da força: usamos a fórmula da norma de um vetor em 3D,
Substituindo:
Passo 3
Calcular o momento de cada força em relação à origem pela definição de momento de força
.
Breve aula sobre produto vetorial (cruz): para
e
,
Aqui todos os
das posições são zero porque as forças atuam sobre a chapa no plano
, então a fórmula simplifica.
Calculemos cada momento (unidade:
):
M1:
Aplicando a fórmula:
M2:
Aplicando:
Calcule:
M3:
Aplicando:
Calcule:
Passo 4
Momento resultante
é a soma vetorial dos momentos individuais.
Some as componentes:
Portanto
Passo 5
Decompor
em componente paralela e componente perpendicular a
.
Regra usada (projeção): a componente de
paralela a
é a projeção de
sobre a direção de
,
onde
é o versor na direção de
.
Calcule o versor:
Produto escalar:
(O sinal negativo indica que a componente paralela tem sentido oposto ao de
.)
Agora a componente paralela vetorial:
Intensidade de
: é o valor absoluto do escalar projetado,
A componente perpendicular obtém-se por diferença:
Intensidade de
:
Verificação rápida (conceito):
é ortogonal a
, então
deve ser (próximo de) zero — isso funciona numericamente dentro de pequenos arredondamentos.
Passo 6
Torsor e passo (pitch).
Explicação: o torsor que substitui um sistema de forças é formado pela força resultante
aplicada numa reta, mais um momento binário (a componente do momento paralelo a
), ou seja o par puro ao longo da direção da força. Neste caso, o par é
.
Logo o torsor pode ser representado por
O passo
do torsor é a distância ao longo da direção da força entre linhas de ação de forças equivalentes e satisfaz
Substituindo:
Passo 7
Encontrar o ponto de aplicação do torsor sobre o plano
.
Método: queremos um vetor de posição no plano
,
, tal que sua aplicação de
gere o momento de braço igual a
:
Como
de
é zero, o produto vetorial dá as equações:
Usamos as duas primeiras para obter
e
diretamente (desde que
, o que é o caso).
Com
e os componentes de
calculados:
Checagem rápida usando a terceira equação (consistência):
que está de acordo com
dentro dos arredondamentos.
Portanto o ponto de aplicação do torsor no plano
é
que está dentro da chapa de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Torsor com
e
dados acima; passo
(e) Ponto de aplicação no plano :
(b)
(c)
(d) Torsor
(e) Ponto de aplicação no plano