( \mathbf{2 0} pontos) Uma chapa de aço plana com 4,0 \mathrm{~m} \times 4,0 \mathrm{~m} encontra-se deitada na horizontal sobre o plano x y. Usando um dos vértices da chapa de aço como a origem do nosso sistema de coordenadas, temos a força \vec{F}_{1}=-2,0 \mathrm{kN} \hat{k} aplicada na posição \vec{r}_{1}=(1,75 \hat{\imath}+2,5 \hat{\jmath}) \mathrm{m}; a força \vec{F}_{2}=(1,0 \hat{\imath}- 1,8 \hat{\jmath}-2,4 \hat{k}) \mathrm{kN} aplicada na posição \vec{r}_{2}=(3,0 \hat{\imath}+1,0 \hat{\jmath}) \mathrm{m}; e a força \vec{F}_{3}=(2,5 \hat{\imath}+1,8 \hat{k}) \mathrm{kN} aplicada na posição \vec{r}_{3}=(1,5 \hat{\imath}+1,5 \hat{\jmath}) \mathrm{m}.
a) ( \mathbf{4} pontos) Calcule o vetor força resultante \vec{F}_{R} atuando sobre a chapa de aço, e sua intensidade.
Solução:
A força resultante \vec{F}_{R} é a soma de todas as forças atuando sobre a chapa
\vec{F}_{R}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}=(3,5 \hat{\imath}-1,8 \hat{\jmath}-2,6 \hat{k}) \mathrm{kN}
A intensidade de \vec{F}_{R} é a norma do vetor:
F_{R}=4,72 \mathrm{kN} .
b) ( 4 pontos) Calcule o momento de cada uma das forças em relação à origem do sistema de coordenadas, e o momento resultante \vec{M}_{R, O}, atuando sobre a chapa de aço.

Solução:

O momento de cada uma das forças pode ser calculado com
\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}
Então
\begin{gathered} \vec{M}_{1}=\vec{r}_{1} \times \vec{F}_{1}=(-5,0 \hat{\imath}+3,5 \hat{\jmath}) \mathrm{kNm} \\\ \vec{M}_{2}=\vec{r}_{2} \times \vec{F}_{2}=(-2,4 \hat{\imath}+7,2 \hat{\jmath}-6,4 \hat{k}) \mathrm{kNm} \\\ \vec{M}_{3}=\vec{r}_{3} \times \vec{F}_{3}=(2,7 \hat{\imath}-2,7 \hat{\jmath}-3,75 \hat{k}) \mathrm{kNm} \end{gathered}
O momento resultante é a soma de todos os momentos:
\vec{M}_{R, O}=\vec{M}_{1}+\vec{M}_{2}+\vec{M}_{3}=(-4,7 \hat{\imath}+8,0 \hat{\jmath}-10,15 \hat{k}) \mathrm{kNm} .
c) ( \mathbf{4} pontos) O momento resultante pode ser decomposto em uma componente paralela e uma componente perpendicular à \vec{F}_{R}. Determine a forma vetorial e a intensidade de cada uma dessas componentes.

Solução:

A componente do momento resultante paralela à \vec{F}_{R}, \vec{M}_{\|}pode ser calculado com:
\vec{M}_{\|}=\left(\vec{M}_{R, O} \cdot \hat{\lambda}_{F R}\right) \hat{\lambda}_{F R} \text {, }
sendo \hat{\lambda}_{F R} o vetor unitário na direção de \vec{F}_{R}
\hat{\lambda}_{F R}=\frac{\vec{F}_{R}}{F_{R}}=(0,742 \hat{\imath}-0,382 \hat{\jmath}-0,551 \hat{k}) .
Então:
\vec{M}_{R, O} \cdot \hat{\lambda}_{F R}=-0,946 \mathrm{kNm},
e, portanto
\vec{M}_{\|}=(-0,702 \hat{\imath}+0,361 \hat{\jmath}+0,521 \hat{k}) \mathrm{kNm} .
A intensidade de \vec{M}_{\|}é:
M_{\|}=0,946 \mathrm{kN} \mathrm{~m} .
Já a componente do momento resultante perpendicular a \vec{F}_{R}, \vec{M}_{\perp} pode ser calculado com:
\vec{M}_{\perp}=\vec{M}_{R, O}-\vec{M}_{\|}=(-4,00 \hat{\imath}+7,64 \hat{\jmath}-10,7 \hat{k}) \mathrm{kNm},
e sua intensidade é:
\vec{M}_{\perp}=13,7 \mathrm{kN} \mathrm{~m} .
d) ( 4 pontos) Encontre o torsor que substitui todas as três forças, e encontre o passo do torsor.

Solução:

O torsor é um sistema força-binário formado pelos vetores força resultante \vec{F}_{R} e a componente do momento \vec{M}_{\|}.
O passo do torsor p pode ser encontrado com:
p=\frac{M_{\|}}{F_{R}}=0,200 \mathrm{~m} .
e) ( \mathbf{4} pontos ) Encontre o ponto de aplicação do torsor sobre o plano x y(z=0). Faça um esboço da placa, indicando o ponto de aplicação do torsor.

Solução:

O ponto de aplicação do torsor sobre o plano x y está em uma posição \vec{r}_{x y}=x \hat{\imath}+y \hat{\jmath}, de tal forma que
\vec{r}_{x y} \times \vec{F}_{R}=\vec{M}_{\perp} .
Sendo assim,
\vec{r}_{x y}=(2,94 \hat{\imath}+1,54 \hat{\jmath}) \mathrm{m} .

Passo 1

O enunciado pede as partes (a) a (e). Vou listar claramente o que é solicitado e os dados fornecidos.
Pedidos:
  • (a) Calcular o vetor força resultante \vec{F}_{R} atuando sobre a chapa e sua intensidade.
  • (b) Calcular o momento de cada força em relação à origem e o momento resultante \vec{M}_{R,O}.
  • (c) Decompor \vec{M}_{R,O} em uma componente paralela e uma componente perpendicular a \vec{F}_{R}; dar formas vetoriais e intensidades.
  • (d) Determinar o torsor que substitui as três forças e o passo (pitch) do torsor.
  • (e) Encontrar o ponto de aplicação do torsor sobre o plano xy (isto é, z=0).
Dados (pego do enunciado):
\vec{F}_{1}=-2,0\\ \mathrm{kN}\,\hat{k},\qquad \vec{r}_{1}=1,75\\ \hat{\imath}+2,5\\ \hat{\jmath}\\ \mathrm{m},
\vec{F}_{2}=(1,0\\ \hat{\imath}-1,8\\ \hat{\jmath}-2,4\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN},\qquad \vec{r}_{2}=3,0\\ \hat{\imath}+1,0\\ \hat{\jmath}\\ \mathrm{m},
\vec{F}_{3}=(2,5\\ \hat{\imath}+0\\ \hat{\jmath}+1,8\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN},\qquad \vec{r}_{3}=1,5\\ \hat{\imath}+1,5\\ \hat{\jmath}\\ \mathrm{m}.
Observação: todas as componentes numéricas usarão a unidade dada ( \mathrm{kN} para forças e \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} para momentos).

Passo 2

Calcular a força resultante \vec{F}_{R} pela soma componente a componente — regra básica de soma de vetores.
Explicação curta da operação: somamos as componentes x com x, y com y e z com z.
Somando:
\vec{F}_{R}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}.
Componentes:
F_{Rx}=0+1,0+2,5=3,5\\ \mathrm{kN},
F_{Ry}=0-1,8+0=-1,8\\ \mathrm{kN},
F_{Rz}=-2,0-2,4+1,8=-2,6\\ \mathrm{kN}.
Logo
\vec{F}_{R}=(3,5\\ \hat{\imath}-1,8\\ \hat{\jmath}-2,6\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}.
Intensidade (norma) da força: usamos a fórmula da norma de um vetor em 3D,
F_{R}=\sqrt{F_{Rx}^{2}+F_{Ry}^{2}+F_{Rz}^{2}}.
Substituindo:
F_{R}=\sqrt{(3,5)^{2}+(-1,8)^{2}+(-2,6)^{2}}=\sqrt{12,25+3,24+6,76}=\sqrt{22,25}=4,72\\ \mathrm{kN}.

Passo 3

Calcular o momento de cada força em relação à origem pela definição de momento de força \vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}.
Breve aula sobre produto vetorial (cruz): para \vec{r}=(x,y,z) e \vec{F}=(F_x,F_y,F_z),
\vec{r}\times\vec{F}=(yF_{z}-zF_{y})\hat{\imath}-(xF_{z}-zF_{x})\hat{\jmath}+(xF_{y}-yF_{x})\hat{k}.
Aqui todos os z das posições são zero porque as forças atuam sobre a chapa no plano xy, então a fórmula simplifica.
Calculemos cada momento (unidade: \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}):
M1:
\vec{r}_{1}=(1,75,\,2,5,\,0),\qquad \vec{F}_{1}=(0,\,0,\,-2,0).
Aplicando a fórmula:
\vec{M}_{1}=(2,5\cdot(-2,0)-0\cdot0)\hat{\imath}-(1,75\cdot(-2,0)-0\cdot0)\hat{\jmath}+0\cdot\hat{k}.
\vec{M}_{1}=(-5,0\\ \hat{\imath}+3,5\\ \hat{\jmath})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
M2:
\vec{r}_{2}=(3,\,1,\,0),\qquad \vec{F}_{2}=(1,0,\,-1,8,\,-2,4)\\ (\text{lembre: }F_{y}=-1,8).
Aplicando:
\vec{M}_{2}=(1\cdot(-2,4)-0\cdot(-1,8))\hat{\imath}-(3\cdot(-2,4)-0\cdot1)\hat{\jmath}+(3\cdot(-1,8)-1\cdot1)\hat{k}.
Calcule:
\vec{M}_{2}=(-2,4\\ \hat{\imath}+7,2\\ \hat{\jmath}-6,4\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
M3:
\vec{r}_{3}=(1,5,\,1,5,\,0),\qquad \vec{F}_{3}=(2,5,\,0,\,1,8).
Aplicando:
\vec{M}_{3}=(1,5\cdot1,8-0\cdot0)\hat{\imath}-(1,5\cdot1,8-0\cdot2,5)\hat{\jmath}+(1,5\cdot0-1,5\cdot2,5)\hat{k}.
Calcule:
\vec{M}_{3}=(2,7\\ \hat{\imath}-2,7\\ \hat{\jmath}-3,75\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.

Passo 4

Momento resultante \vec{M}_{R,O} é a soma vetorial dos momentos individuais.
Some as componentes:
M_{Rx}=-5,0-2,4+2,7=-4,7\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m},
M_{Ry}=3,5+7,2-2,7=8,0\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m},
M_{Rz}=0-6,4-3,75=-10,15\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
Portanto
\vec{M}_{R,O}=(-4,7\\ \hat{\imath}+8,0\\ \hat{\jmath}-10,15\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.

Passo 5

Decompor \vec{M}_{R,O} em componente paralela e componente perpendicular a \vec{F}_{R}.
Regra usada (projeção): a componente de \vec{M} paralela a \vec{F}_{R} é a projeção de \vec{M}_{R,O} sobre a direção de \vec{F}_{R},
\vec{M}_{\parallel}=\bigl(\vec{M}_{R,O}\cdot\hat{u}_{F}\bigr)\hat{u}_{F},
onde \hat{u}_{F}=\dfrac{\vec{F}_{R}}{F_{R}} é o versor na direção de \vec{F}_{R}.
Calcule o versor:
\hat{u}_{F}=\frac{1}{4,72}(3,5\,\hat{\imath}-1,8\,\hat{\jmath}-2,6\,\hat{k})=(0,742\,\hat{\imath}-0,382\,\hat{\jmath}-0,551\,\hat{k}).
Produto escalar:
\vec{M}_{R,O}\cdot\hat{u}_{F}=(-4,7)(0,742)+8,0(-0,382)+(-10,15)(-0,551)\approx-0,950\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
(O sinal negativo indica que a componente paralela tem sentido oposto ao de \hat{u}_{F}.)
Agora a componente paralela vetorial:
\vec{M}_{\parallel}=(-0,950)\,(0,742\,\hat{\imath}-0,382\,\hat{\jmath}-0,551\,\hat{k})\approx(-0,705\\ \hat{\imath}+0,363\\ \hat{\jmath}+0,523\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
Intensidade de \vec{M}_{\parallel}: é o valor absoluto do escalar projetado,
M_{\parallel}=0,950\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
A componente perpendicular obtém-se por diferença:
\vec{M}_{\perp}=\vec{M}_{R,O}-\vec{M}_{\parallel}\approx(-3,995\\ \hat{\imath}+7,637\\ \hat{\jmath}-10,673\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
Intensidade de \vec{M}_{\perp}:
M_{\perp}=\sqrt{(-3,995)^{2}+7,637^{2}+(-10,673)^{2}}\approx13,72\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
Verificação rápida (conceito): \vec{M}_{\perp} é ortogonal a \vec{F}_{R}, então \vec{M}_{\perp}\cdot\vec{F}_{R} deve ser (próximo de) zero — isso funciona numericamente dentro de pequenos arredondamentos.

Passo 6

Torsor e passo (pitch).
Explicação: o torsor que substitui um sistema de forças é formado pela força resultante \vec{F}_{R} aplicada numa reta, mais um momento binário (a componente do momento paralelo a \vec{F}_{R}), ou seja o par puro ao longo da direção da força. Neste caso, o par é \vec{M}_{\parallel}.
Logo o torsor pode ser representado por
\{\vec{F}_{R},\\ \vec{M}_{\parallel}\}.
O passo p do torsor é a distância ao longo da direção da força entre linhas de ação de forças equivalentes e satisfaz
p=\frac{M_{\parallel}}{F_{R}}.
Substituindo:
p=\frac{0,950\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}}{4,72\\ \mathrm{kN}}\approx0,201\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Encontrar o ponto de aplicação do torsor sobre o plano z=0.
Método: queremos um vetor de posição no plano z=0, \vec{r}_{xy}=x\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath}, tal que sua aplicação de \vec{F}_{R} gere o momento de braço igual a \vec{M}_{\perp}:
\vec{r}_{xy}\times\vec{F}_{R}=\vec{M}_{\perp}.
Como z de \vec{r}_{xy} é zero, o produto vetorial dá as equações:
yF_{Rz}=M_{\perp x},
-xF_{Rz}=M_{\perp y},
xF_{Ry}-yF_{Rx}=M_{\perp z}.
Usamos as duas primeiras para obter x e y diretamente (desde que F_{Rz}\neq0, o que é o caso).
Com F_{Rz}=-2,6\\ \mathrm{kN} e os componentes de \vec{M}_{\perp} calculados:
y=\frac{M_{\perp x}}{F_{Rz}}=\frac{-3,995}{-2,6}\approx1,54\\ \mathrm{m},
x=-\frac{M_{\perp y}}{F_{Rz}}=-\frac{7,637}{-2,6}\approx2,94\\ \mathrm{m}.
Checagem rápida usando a terceira equação (consistência):
xF_{Ry}-yF_{Rx}\approx2,94(-1,8)-1,54(3,5)\approx-10,66\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m},
que está de acordo com M_{\perp z}\approx-10,67\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} dentro dos arredondamentos.
Portanto o ponto de aplicação do torsor no plano xy é
\vec{r}_{xy}\approx2,94\\ \hat{\imath}+1,54\\ \hat{\jmath}\\ \mathrm{m},
que está dentro da chapa de 4,0\\ \mathrm{m}\times4,0\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \vec{F}_{R}=(3,5\\ \hat{\imath}-1,8\\ \hat{\jmath}-2,6\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN},\quad F_{R}=4,72\\ \mathrm{kN}.
(b) \vec{M}_{1}=(-5,0\\ \hat{\imath}+3,5\\ \hat{\jmath})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m},\quad \vec{M}_{2}=(-2,4\\ \hat{\imath}+7,2\\ \hat{\jmath}-6,4\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m},\quad \vec{M}_{3}=(2,7\\ \hat{\imath}-2,7\\ \hat{\jmath}-3,75\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m};\quad \vec{M}_{R,O}=(-4,7\\ \hat{\imath}+8,0\\ \hat{\jmath}-10,15\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
(c) \vec{M}_{\parallel}\approx(-0,705\\ \hat{\imath}+0,363\\ \hat{\jmath}+0,523\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m},\quad M_{\parallel}=0,950\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m};\quad \vec{M}_{\perp}\approx(-3,995\\ \hat{\imath}+7,637\\ \hat{\jmath}-10,673\\ \hat{k})\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m},\quad M_{\perp}=13,72\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
(d) Torsor \{\vec{F}_{R},\\ \vec{M}_{\parallel}\} com \vec{F}_{R} e \vec{M}_{\parallel} dados acima; passo p=\dfrac{M_{\parallel}}{F_{R}}\approx0,201\\ \mathrm{m}.
(e) Ponto de aplicação no plano xy: \vec{r}_{xy}\approx2,94\\ \hat{\imath}+1,54\\ \hat{\jmath}\\ \mathrm{m}.

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