Usando a equação de estado do gás ideal
mostre que a equação da questão anterior é válida para um gás que se aproxima de um gás ideal, ou seja, um gás extremamente rarefeito.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a equação da questão anterior é válida para um gás que se aproxima de um gás ideal (gás extremamente rarefeito), usando a equação de estado do gás ideal
Informações relevantes que temos (explicitadas para que a prova dê sentido): a equação a ser verificada na fronteira ideal é a expansão em série em função da densidade conhecida como expansão de virial (esta é a forma geral que aparece como “equação anterior” em muitos exercícios). Vou, portanto, considerar como sendo essa equação anterior a seguinte forma para o fator de compressibilidade:
onde
são os coeficientes de virial que dependem somente da temperatura
. Também anoto a densidade
como
A meta concreta: mostrar que, no limite de gás extremamente rarefeito (isto é,
), a expressão acima reduz-se à lei do gás ideal
.
Passo 2
Explicação didática do que é o fator de compressibilidade
e por que ele é útil. Definição:
O fator
mede o quanto o comportamento do gás se afasta do gás ideal: se
o gás se comporta exatamente como um gás ideal; se
, há correções devido a interações entre moléculas ou efeitos de volume finito das partículas. Portanto, provar que a equação anterior (a expansão de virial) recupera o gás ideal é mostrar que
quando o gás fica muito rarefeito.
Passo 3
Apresentação e interpretação da expansão de virial. A expansão de virial em termos da densidade
é
onde:
-
é o segundo coeficiente de virial (associa-se a contribuições de pares de partículas), -
é o terceiro coeficiente (trios de partículas), e assim por diante.
Cada coeficiente tem dimensão tal que os termos sejam adimensionais; eles dependem apenas dee descrevem efeitos de interação entre pequenas coleções de partículas.
Passo 4
Intuição física por trás da expansão e do limite rarefeito. Quando o gás é extremamente rarefeito significa que as partículas estão muito separadas, isto é, a densidade
é muito pequena. Fisicamente, isso implica:
- colisões ou interações entre duas ou mais partículas ocorrem com probabilidade proporcional a
(pares) ou a potências maiores de (trios, etc.); - portanto, as correções à idealidade aparecem como uma série em potências de
, cada termo representando contribuições de interações envolvendo mais partículas.
Passo 5
Argumento matemático do limite. Começamos da expansão de virial escrita em Passo 3:
Tomamos o limite de gás extremamente rarefeito, isto é,
. Como
são finitos para temperatura fixa, cada termo com potências positivas de
tende a zero quando
. Logo:
Passo 6
Conclusão sobre a equação de estado. Como
no limite
, de volta à definição de
temos:
Isto significa que, no limite de densidade muito baixa (gás extremamente rarefeito), a equação de estado geral dada pela expansão de virial reduz-se exatamente à lei do gás ideal.
Passo 7
Comentário prático e exemplo numérico simples (para intuir a pequena magnitude das correções). Suponha que
seja da ordem de um volume molecular típico e que
seja extremamente pequeno, por exemplo
em unidades adequadas; então
e os demais termos são ainda menores. Assim
, uma diferença desprezível, o que confirma que para gases rarefeitos a lei
é uma excelente aproximação.
Passo 8
Resumo final do raciocínio pedagógico: a expansão em potências da densidade mostra que as correções ao comportamento ideal vêm com fatores
. Em um gás extremamente rarefeito essas correções desaparecem porque
é muito pequeno, restando apenas o termo
no fator de compressibilidade, que é exatamente o gás ideal.