Usando a equação de estado do gás ideal
P V=N R T,
mostre que a equação da questão anterior é válida para um gás que se aproxima de um gás ideal, ou seja, um gás extremamente rarefeito.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a equação da questão anterior é válida para um gás que se aproxima de um gás ideal (gás extremamente rarefeito), usando a equação de estado do gás ideal
P V = N R T.
Informações relevantes que temos (explicitadas para que a prova dê sentido): a equação a ser verificada na fronteira ideal é a expansão em série em função da densidade conhecida como expansão de virial (esta é a forma geral que aparece como “equação anterior” em muitos exercícios). Vou, portanto, considerar como sendo essa equação anterior a seguinte forma para o fator de compressibilidade:
Z \equiv \frac{P V}{N R T} = 1 + B(T)\,\frac{N}{V} + C(T)\,\left(\frac{N}{V}\right)^2 + \cdots,
onde B(T), C(T),\dots são os coeficientes de virial que dependem somente da temperatura T. Também anoto a densidade \rho como
\rho \equiv \frac{N}{V}.
A meta concreta: mostrar que, no limite de gás extremamente rarefeito (isto é, \rho \to 0), a expressão acima reduz-se à lei do gás ideal \;P V = N R T.

Passo 2

Explicação didática do que é o fator de compressibilidade Z e por que ele é útil. Definição:
Z \equiv \frac{P V}{N R T}.
O fator Z mede o quanto o comportamento do gás se afasta do gás ideal: se Z=1 o gás se comporta exatamente como um gás ideal; se Z\neq 1, há correções devido a interações entre moléculas ou efeitos de volume finito das partículas. Portanto, provar que a equação anterior (a expansão de virial) recupera o gás ideal é mostrar que Z\to 1 quando o gás fica muito rarefeito.

Passo 3

Apresentação e interpretação da expansão de virial. A expansão de virial em termos da densidade \rho é
Z = 1 + B(T)\,\rho + C(T)\,\rho^2 + D(T)\,\rho^3 + \cdots,
onde:
  • B(T) é o segundo coeficiente de virial (associa-se a contribuições de pares de partículas),
  • C(T) é o terceiro coeficiente (trios de partículas), e assim por diante.
    Cada coeficiente tem dimensão tal que os termos sejam adimensionais; eles dependem apenas de T e descrevem efeitos de interação entre pequenas coleções de partículas.

Passo 4

Intuição física por trás da expansão e do limite rarefeito. Quando o gás é extremamente rarefeito significa que as partículas estão muito separadas, isto é, a densidade \rho=\dfrac{N}{V} é muito pequena. Fisicamente, isso implica:
  • colisões ou interações entre duas ou mais partículas ocorrem com probabilidade proporcional a \rho (pares) ou a potências maiores de \rho (trios, etc.);
  • portanto, as correções à idealidade aparecem como uma série em potências de \rho, cada termo representando contribuições de interações envolvendo mais partículas.

Passo 5

Argumento matemático do limite. Começamos da expansão de virial escrita em Passo 3:
Z = 1 + B(T)\,\rho + C(T)\,\rho^2 + \cdots.
Tomamos o limite de gás extremamente rarefeito, isto é, \rho \to 0. Como B(T),C(T),\dots são finitos para temperatura fixa, cada termo com potências positivas de \rho tende a zero quando \rho\to 0. Logo:
\lim_{\rho\to 0} Z = \lim_{\rho\to 0}\Big(1 + B(T)\,\rho + C(T)\,\rho^2 + \cdots\Big) = 1.

Passo 6

Conclusão sobre a equação de estado. Como Z\to 1 no limite \rho\to 0, de volta à definição de Z temos:
\frac{P V}{N R T} \to 1 \quad\Longrightarrow\quad P V \to N R T.
Isto significa que, no limite de densidade muito baixa (gás extremamente rarefeito), a equação de estado geral dada pela expansão de virial reduz-se exatamente à lei do gás ideal.

Passo 7

Comentário prático e exemplo numérico simples (para intuir a pequena magnitude das correções). Suponha que B(T) seja da ordem de um volume molecular típico e que \rho seja extremamente pequeno, por exemplo \rho = 10^{-6} em unidades adequadas; então B(T)\rho \sim 10^{-6} e os demais termos são ainda menores. Assim Z\approx 1 + 10^{-6}, uma diferença desprezível, o que confirma que para gases rarefeitos a lei P V = N R T é uma excelente aproximação.

Passo 8

Resumo final do raciocínio pedagógico: a expansão em potências da densidade mostra que as correções ao comportamento ideal vêm com fatores \rho, \rho^2,\dots. Em um gás extremamente rarefeito essas correções desaparecem porque \rho é muito pequeno, restando apenas o termo 1 no fator de compressibilidade, que é exatamente o gás ideal.

Resposta

P V = N R T.

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