Um circuito em série de R=8 \Omega e L=0,02 \mathrm{H} tem uma tensão aplicada de v=283 sen \left(300 t+90^{\circ}\right). Encontrar a corrente i.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com R=8\\ \Omega e L=0,02\\ \mathrm{H} e aplica a tensão
v(t)=283\operatorname{sen}\bigl(300t+90^\circ\bigr).
A pergunta é: encontrar a corrente i(t) do circuito (regime senoidal estacionário). As informações relevantes são R, L, a expressão da tensão e a frequência angular \omega implícita no argumento do seno, que é 300\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Pequena explicação didática (o que vamos usar e por quê). Em regime senoidal estacionário é muito prático usar representação fasorial (phasors): cada grandeza a(t)=A_m\operatorname{sen}(\omega t+\varphi) pode ser associada a um fasor (número complexo) \tilde{A}=A_m\angle\varphi se trabalharmos com amplitudes de pico, ou \tilde{A}_{rms} se usarmos valores eficazes. A vantagem: equações diferenciais se tornam álgebra complexa usando impedâncias. Para um indutor L a impedância é j\omega L (ou seja, uma reatância indutiva X_L=\omega L com fase +90^\circ). Aqui usaremos amplitudes de pico (consistência: tensão de pico 283 V).

Passo 3

Converter a tensão para uma referência conveniente. Observação trigonométrica:
\operatorname{sen}(\theta+90^\circ)=\cos\theta.
Portanto
v(t)=283\operatorname{sen}(300t+90^\circ)=283\cos(300t).
Isso é útil porque fica claro que, na referência do cosseno, o fasor da tensão tem ângulo 0^\circ e magnitude 283.

Passo 4

Calcular a frequência angular \omega e a reatância indutiva X_L.
\omega=300\\ \mathrm{rad/s}.
X_L=\omega L = 300\cdot 0{,}02 = 6\\ \Omega.
Explicação: X_L mede a oposição do indutor à variação de corrente; cresce com \omega e com L.

Passo 5

Formar a impedância equivalente do circuito série Z. Como resistor soma com a impedância do indutor:
Z = R + jX_L = 8 + j6\\ \Omega.
Agora calcule módulo e argumento de Z:
|Z|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\\ \Omega,
\angle Z = \arctan\!\left(\frac{6}{8}\right)=\arctan(0{,}75)\approx 36{,}87^\circ.
Interpretação: a impedância tem fase positiva porque há componente indutiva, logo a corrente deverá ficar defasada negativamente (isto é, a corrente fica atrasada em relação à tensão).

Passo 6

Passar para fasores e calcular o fasor da corrente. O fasor da tensão (usando a forma cosseno) é
\tilde{V}=283\angle 0^\circ.
Pela lei de Ohm fasorial,
\tilde{I}=\frac{\tilde{V}}{Z}=\frac{283\angle 0^\circ}{10\angle 36{,}87^\circ}=\frac{283}{10}\angle(0^\circ-36{,}87^\circ).
Calcule magnitude e ângulo:
|\tilde{I}|=28{,}3,
\angle\tilde{I}=-36{,}87^\circ.
Interpretando: em forma cosseno a corrente é 28{,}3\cos(300t-36{,}87^\circ), ou seja, ela atrasa a tensão (cosseno de referência) em 36{,}87^\circ.

Passo 7

Voltar ao formato solicitado (usar a mesma forma do enunciado, que é seno). Temos a identidade
\cos(\theta-\alpha)=\operatorname{sen}(\theta-\alpha+90^\circ).
Aplicando com \theta=300t e \alpha=36{,}87^\circ:
i(t)=28{,}3\cos(300t-36{,}87^\circ)=28{,}3\operatorname{sen}(300t-36{,}87^\circ+90^\circ).
-36{,}87^\circ+90^\circ=53{,}13^\circ.
Portanto em forma seno (mesma aparência do enunciado):
i(t)=28{,}3\operatorname{sen}(300t+53{,}13^\circ)\\ \mathrm{A}.
Interpretação física rápida: como a impedância tem componente indutiva, a corrente está atrasada em relação ao cosseno-tensão em 36{,}87^\circ. Em relação à tensão escrita originalmente como seno com +90^\circ, a corrente tem fase +53{,}13^\circ (diferença de 36{,}87^\circ).

Resposta

i(t)=28{,}3\operatorname{sen}\bigl(300t+53{,}13^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}

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