Um capacitor C_{1} de 3,55 \mu \mathrm{~F} é carregado até que seus terminais fiquem à diferença de potencial V_{0}=6,30 \mathrm{~V}. A bateria utilizada para carregar o capacitor é então removida e o capacitor é ligado, como na figura, a um capacitor C_{2} descarregado, com C_{2}=8,95 \mu \mathrm{~F}. Depois que a chave S é fechada, a carga escoa de C_{1} para C_{2} até que o equilíbrio seja atingido, com ambos os capacitores à
mesma diferença de potencial V. a) Qual é esta diferença de potencial comum? b) Qual a energia armazenada no campo elétrico, antes e depois de fecharmos a chave S na figura.
R: a) V=1,79 V; b) U_{\mathrm{i}}=70,5 \mu J e U_{\mathrm{f}}=20 \mu J

Passo 1

O enunciado dá um capacitor C_{1}=3{,}55\\ \mu\mathrm{F} carregado até a diferença de potencial V_{0}=6{,}30\\ \mathrm{V}. A bateria é removida e então C_{1} é conectada a um capacitor C_{2}=8{,}95\\ \mu\mathrm{F} que inicialmente está descarregado. Depois que a chave S é fechada, a carga se redistribui até que ambos os capacitores fiquem com a mesma diferença de potencial final V.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Qual é essa diferença de potencial comum V?
  • (b) Qual é a energia armazenada no campo elétrico antes ( U_{\mathrm{i}}) e depois ( U_{\mathrm{f}}) de fecharmos a chave?
Informações relevantes (extraídas do enunciado):
C_{1}=3{,}55\\ \mu\mathrm{F},\qquad C_{2}=8{,}95\\ \mu\mathrm{F},\qquad V_{0}=6{,}30\\ \mathrm{V}.
Observação: C_{2} está inicialmente descarregado, isto é, com carga zero.

Passo 2

Princípio físico usado (explicado passo a passo): conservação da carga elétrica no circuito isolado.
  • Quando a bateria é removida e os capacitores são conectados, não há caminho para carga sair do sistema, então a carga total antes de fechar a chave é igual à carga total depois do equilíbrio.
  • A carga em um capacitor é dada pela relação básica
q = C\,V,
onde q é a carga (em coulombs), C é a capacitância (em farads) e V é a diferença de potencial entre as placas (em volts). Vou explicar cada símbolo: q é a quantidade de carga (positiva em uma placa e negativa na outra), C diz quanta carga é armazenada por volt aplicado, e V é a voltagem aplicada.
  • Inicialmente só C_{1} está carregado: a carga inicial é
q_{0}=C_{1}V_{0}.
  • Após o equilíbrio, ambos têm a mesma voltagem V. As cargas finais são q_{1\mathrm{f}}=C_{1}V e q_{2\mathrm{f}}=C_{2}V. Conservação da carga implica
q_{0}=q_{1\mathrm{f}}+q_{2\mathrm{f}}=(C_{1}+C_{2})V.
  • Isolando V obtemos a fórmula que vamos usar:
V=\frac{C_{1}V_{0}}{C_{1}+C_{2}}.
Essa fórmula faz sentido: a carga inicial C_{1}V_{0} é repartida entre as duas capacitâncias somadas.

Passo 3

Cálculo numérico da voltagem final V. Primeiro cuido das unidades: \mu\mathrm{F} são microfarads, onde 1\\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\\ \mathrm{F}. Podemos trabalhar em \mu\mathrm{F} porque elas aparecem tanto no numerador quanto no denominador e cancelam, mas vou mostrar a conversão para ficar claro.
Valores:
C_{1}=3{,}55\times 10^{-6}\\ \mathrm{F},\qquad C_{2}=8{,}95\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Aplicando a fórmula
V=\frac{C_{1}V_{0}}{C_{1}+C_{2}}
podemos calcular usando os valores em \mu\mathrm{F} (mais simples aritmeticamente):
C_{1}+C_{2}=3{,}55+8{,}95=12{,}50\\ \mu\mathrm{F}.
A carga inicial em unidades de \mu\mathrm{C} (microcoulombs) é
q_{0}=C_{1}V_{0}=3{,}55\times 6{,}30=22{,}365\\ \mu\mathrm{C}.
Agora
V=\frac{22{,}365\\ \mu\mathrm{C}}{12{,}50\\ \mu\mathrm{F}}=1{,}7892\\ \mathrm{V}.
Arredondando com três dígitos significativos:
V\approx 1{,}79\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Energia elétrica armazenada em um capacitor — fórmula e explicação: a energia elétrica armazenada no campo do capacitor é
U=\frac{1}{2}CV^{2}.
Aqui U é a energia em joules, C a capacitância em farads e V a diferença de potencial. Essa fórmula vem da integração da pequena quantidade de trabalho necessário para mover cargas e encher o capacitor incrementalmente; não precisa memorizar a demonstração agora, mas a fórmula é fundamental. Vou aplicar primeiro para o estado inicial (antes de fechar S).
Estado inicial: só C_{1} está carregado a V_{0}. Então
U_{\mathrm{i}}=\frac{1}{2}C_{1}V_{0}^{2}.
Faço o cálculo com C_{1}=3{,}55\times 10^{-6}\\ \mathrm{F} e V_{0}=6{,}30\\ \mathrm{V}.
Primeiro cálculo do quadrado:
V_{0}^{2}=(6{,}30)^{2}=39{,}69.
Agora
U_{\mathrm{i}}=\tfrac{1}{2}\times 3{,}55\times 10^{-6}\times 39{,}69.
Multiplicando:
3{,}55\times 39{,}69 = 140{,}8995,
portanto
U_{\mathrm{i}}=\tfrac{1}{2}\times 140{,}8995\times 10^{-6}\\ \mathrm{J}=70{,}44975\times 10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para microjoules ( 1\\ \mu\mathrm{J}=10^{-6}\\ \mathrm{J}):
U_{\mathrm{i}}\approx 70{,}45\\ \mu\mathrm{J},
arredondando: U_{\mathrm{i}}\approx 70{,}5\\ \mu\mathrm{J}.

Passo 5

Energia final U_{\mathrm{f}} após o equilíbrio: ambos os capacitores têm voltagem V calculada no Passo 3. A energia total final é a soma das energias em cada capacitor, que é equivalente a tratar como uma capacitância equivalente C_{1}+C_{2} à voltagem V:
U_{\mathrm{f}}=\frac{1}{2}(C_{1}+C_{2})V^{2}.
Usando C_{1}+C_{2}=12{,}50\\ \mu\mathrm{F}=12{,}50\times 10^{-6}\\ \mathrm{F} e V\approx 1{,}7892\\ \mathrm{V}, calculo V^{2}:
V^{2}\approx (1{,}7892)^{2}\approx 3{,}20124.
Agora
U_{\mathrm{f}}=\tfrac{1}{2}\times 12{,}50\times 10^{-6}\times 3{,}20124.
U_{\mathrm{f}}=6{,}25\times 10^{-6}\times 3{,}20124=20{,}00775\times 10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para \mu\mathrm{J}:
U_{\mathrm{f}}\approx 20{,}01\\ \mu\mathrm{J},
arredondando: U_{\mathrm{f}}\approx 20{,}0\\ \mu\mathrm{J}.

Passo 6

Comentário didático e física do resultado: comparei as energias e vemos que U_{\mathrm{f}}<U_{\mathrm{i}}. Ou seja, parte da energia inicialmente armazenada em C_{1} desapareceu do campo. Para onde foi essa energia? Em um circuito real com resistência (mesmo pequena), a energia perdida é dissipada como calor devido à corrente que flui durante a redistribuição de carga — se o circuito for ideal sem resistência, haveria oscilações (corrente alternada) e a energia poderia ser radiada ou ainda convertida em calor por pequenas resistências reais. O importante para a prova: conserve carga, calcule voltagem final por V=\dfrac{C_{1}V_{0}}{C_{1}+C_{2}} e calcule energias com U=\tfrac{1}{2}CV^{2}.

Resposta

V=1{,}79\\ \mathrm{V}
U_{\mathrm{i}}=70{,}5\\ \mu\mathrm{J}
U_{\mathrm{f}}=20{,}0\\ \mu\mathrm{J}

Exercícios relacionados