Um capacitor cilíndrico é composto por dois cilindros posicionados concentricamente, um de raio a, carregado com carga +Q e o outro de raio b>a, com carga -Q. Os cilindros têm comprimento L. Determine:
(a) (0.5) O campo elétrico entre os dois cilindros usando Lei de Gauss. Para isso, despreze os efeitos da curvatura das linhas de campo elétrico nas bordas e considere ele apontando apenas na direção radial;
(b) (0.5) A diferença de potencial elétrico entre os dois cilindros;
(c) (0.5) Determine agora a capacitância do sistema;
(d) (0.5) Uma maneira de aumentar a capacitância é enrolar duas placas paralelas, várias vezes, como um rocambole ou bolo de rolo. Uma maneira de modelar tal sistema é pensar que o resultado são dois capacitores, um dentro do outro, ligados em paralelo, os dois de comprimento L, o primeiro com raios a e b e o outro com raios a / 2 e b / 2. Determine a nova capacitância do sistema.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros concêntricos de comprimento L, raios interno a (carga +Q) e externo b>a (carga -Q). Precisamos usar a Lei de Gauss para achar o campo entre eles, depois integrar esse campo para obter a diferença de potencial, calcular a capacitância usual \,C=Q/\Delta V e, por fim, modelar um enrolamento extra como dois capacitores coaxiais em paralelo para determinar a nova capacitância.

Passo 2

Para achar o campo elétrico entre os cilindros usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície cilíndrica gaussiana de raio r, com a<r<b, e comprimento L. A carga encerrada é Q_{\rm enc}=Q, e a simetria garante que o campo seja radial e constante em toda a superfície. Assim,
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,(2\pi rL)
e pela Lei de Gauss
E(r)\,(2\pi rL) = \frac{Q}{\epsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,L\,r}\quad(\text{radial}).

Passo 3

A diferença de potencial entre o cilindro interno e o externo é
\Delta V = V(a)-V(b) = -\int_{a}^{b} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} = -\int_{a}^{b} \!E(r)\,dr = -\int_{a}^{b}\!\frac{Q}{2\pi\epsilon_0 L\,r}\,dr.
Trocando os limites para ficar positivo,
\Delta V = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,L}\int_{a}^{b}\frac{dr}{r} = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,L}\ln\!\biggl(\frac{b}{a}\biggr).

Passo 4

A capacitância é definida por
C = \frac{Q}{\Delta V}
logo, usando o resultado de \Delta V,
C = \frac{Q}{\tfrac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)} = \frac{2\pi\epsilon_0\,L}{\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)}.

Passo 5

No modelo de “rocambole” temos dois capacitores coaxiais em paralelo, ambos de comprimento L: um com raios a e b (capacitância C_1) e outro com raios a/2 e b/2 (capacitância C_2). Como
\frac{b/2}{a/2}=\frac{b}{a},
cada capacitor tem
C_1 = \frac{2\pi\epsilon_0\,L}{\ln(b/a)}, \qquad C_2 = \frac{2\pi\epsilon_0\,L}{\ln(b/a)}.
Em paralelo, a capacitância total é
C_{\rm total} = C_1 + C_2 = 2\,\frac{2\pi\epsilon_0\,L}{\ln(b/a)} = \frac{4\pi\epsilon_0\,L}{\ln(b/a)}.

Resposta

(a)
E(r) = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,L\,r}\quad(a<r<b).
(b)
\Delta V = \frac{Q}{2\pi\epsilon_0\,L}\ln\!\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr).
(c)
C = \frac{2\pi\epsilon_0\,L}{\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)}.
(d)
C_{\rm total} = \frac{4\pi\epsilon_0\,L}{\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)}.

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