Um capacitor cilíndrico é composto por dois cilindros posicionados concentricamente, um de raio
, carregado com carga
e o outro de raio
, com carga
. Os cilindros têm comprimento
. Determine:
(a) (0.5) O campo elétrico entre os dois cilindros usando Lei de Gauss. Para isso, despreze os efeitos da curvatura das linhas de campo elétrico nas bordas e considere ele apontando apenas na direção radial;
(b) (0.5) A diferença de potencial elétrico entre os dois cilindros;
(c) (0.5) Determine agora a capacitância do sistema;
(d) (0.5) Uma maneira de aumentar a capacitância é enrolar duas placas paralelas, várias vezes, como um rocambole ou bolo de rolo. Uma maneira de modelar tal sistema é pensar que o resultado são dois capacitores, um dentro do outro, ligados em paralelo, os dois de comprimento
, o primeiro com raios
e
e o outro com raios
e
. Determine a nova capacitância do sistema.
(a) (0.5) O campo elétrico entre os dois cilindros usando Lei de Gauss. Para isso, despreze os efeitos da curvatura das linhas de campo elétrico nas bordas e considere ele apontando apenas na direção radial;
(b) (0.5) A diferença de potencial elétrico entre os dois cilindros;
(c) (0.5) Determine agora a capacitância do sistema;
(d) (0.5) Uma maneira de aumentar a capacitância é enrolar duas placas paralelas, várias vezes, como um rocambole ou bolo de rolo. Uma maneira de modelar tal sistema é pensar que o resultado são dois capacitores, um dentro do outro, ligados em paralelo, os dois de comprimento
Passo 1
O enunciado descreve um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros concêntricos de comprimento
, raios interno
(carga
) e externo
(carga
). Precisamos usar a Lei de Gauss para achar o campo entre eles, depois integrar esse campo para obter a diferença de potencial, calcular a capacitância usual
e, por fim, modelar um enrolamento extra como dois capacitores coaxiais em paralelo para determinar a nova capacitância.
Passo 2
Para achar o campo elétrico entre os cilindros usamos a Lei de Gauss. Escolhemos uma superfície cilíndrica gaussiana de raio
, com
, e comprimento
. A carga encerrada é
, e a simetria garante que o campo seja radial e constante em toda a superfície. Assim,
e pela Lei de Gauss
Passo 3
A diferença de potencial entre o cilindro interno e o externo é
Trocando os limites para ficar positivo,
Passo 4
A capacitância é definida por
logo, usando o resultado de
,
Passo 5
No modelo de “rocambole” temos dois capacitores coaxiais em paralelo, ambos de comprimento
: um com raios
e
(capacitância
) e outro com raios
e
(capacitância
). Como
cada capacitor tem
Em paralelo, a capacitância total é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)