Uma fonte de luz afasta-se de um observador com velocidade v_{s} pequena se comparada a c.
a. Mostre que a variação fracional no comprimento de onda medido é fornecida pela expressão
\frac{\Delta \lambda}{\lambda} \approx \frac{v_{s}}{c}
Este fenômeno é conhecido como desvio para o vermelho (red shift) porque a luz visível é modificada em direção a esta cor.
b. Medidas espectroscópicas da luz com comprimento de onda \lambda=397 \mathrm{~nm} vinda de uma galáxia na Ursa Maior revelaram uma mudança para o vermelho de 20,0 \mathrm{~nm}. Qual é a velocidade de afastamento da galáxia?

Passo 1

O enunciado trata do efeito Doppler para luz emitida por uma fonte que se afasta com velocidade \,v_{s}\ll c.
a) Pede para mostrar que a mudança fracional no comprimento de onda satisfaz
\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\approx \frac{v_{s}}{c}.
b) Dado \lambda=397\:\mathrm{nm} e \Delta\lambda=20,0\:\mathrm{nm}, calcula-se a velocidade de afastamento da galáxia.
O conteúdo essencial é o efeito Doppler relativístico em primeira ordem em v_{s}/c.

Passo 2

Em relatividade a frequência observada f_{\rm obs} de uma fonte que se afasta a v_{s} vem do Doppler
f_{\rm obs}=f_{\rm em}\,\sqrt{\frac{1 - v_{s}/c}{1 + v_{s}/c}}.
Para v_{s}\ll c expandimos em série de Taylor até primeiro ordem em v_{s}/c, obtendo
f_{\rm obs}\approx f_{\rm em}\,(1 - \tfrac{v_{s}}{c}).
Como \lambda=c/f, a onda observada tem
\lambda_{\rm obs}=\frac{c}{f_{\rm obs}}\approx \frac{c}{f_{\rm em}(1 - v_{s}/c)}=\lambda_{\rm em}\,\frac{1}{1 - v_{s}/c}\approx \lambda_{\rm em}\,(1 + \tfrac{v_{s}}{c}).

Passo 3

Da expressão aproximada para \lambda_{\rm obs} segue
\Delta\lambda=\lambda_{\rm obs}-\lambda_{\rm em}\approx \lambda_{\rm em}\,\frac{v_{s}}{c},
logo
\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\approx \frac{v_{s}}{c},
o que mostra a parte (a).

Passo 4

Para a parte (b), isolamos v_{s}:
v_{s}\approx c\,\frac{\Delta\lambda}{\lambda}.
Substituindo \Delta\lambda=20,0\:\mathrm{nm} e \lambda=397\:\mathrm{nm}:
v_{s}\approx (3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m/s})\times\frac{20{,}0}{397} \approx 3{,}00\times10^{8}\times0,05038\:\mathrm{m/s}\approx 1{,}51\times10^{7}\:\mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade de afastamento da galáxia é aproximadamente
v_{s}\approx 1{,}51\times10^{7}\:\mathrm{m/s}.

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