Um capacitor cilíndrico é composto por duas superfícies condutoras cilíndricas concentricas, uma de raio a e outra de raio b, onde a. A superfície cilíndrica interna tem carga positiva Q, enquanto a superfície mais externa tem carga negativa -Q. Determine: a) o campo eletrostático em todos os pontos, utilizando a lei de Gauss.

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos um capacitor cilíndrico formado por dois condutores coaxiais: um tubo interno de raio com carga e outro tubo externo de raio com carga . O que precisamos é achar o campo elétrico em todo lugar usando a Lei de Gauss. Para isso vamos usar:
  1. Lei de Gauss: .
  2. Simetria cilíndrica: o campo aponta radialmente e só depende da distância ao eixo.

Passo 2

Vamos escolher como superfície gaussiana um cilindro de comprimento E(r),l(2pi r Lr) ;=;Qrm int(r)varepsilon0 e raio qualquer , coaxial com os condutores. A área lateral vale e as tampas não contribuem porque é paralelo à superfície lateral e perpendicular às tampas. Então Gauss vira

Passo 3

Região 1: E(r.
Aqui o cilindro gaussiano está inteiramente dentro do metal interno. Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo interno é zero e toda carga está na superfície de raio . Logo

Passo 4

Região 2: E(r);=;Q2pi varepsilon0 L,r, para a.
Agora o cilindro engloba toda a carga +Q do condutor interno e nada do externo. Então e
Isto mostra que o campo decai como .

Passo 5

Região 3: E(r>b) = 0 .
Quando , a gaussiana engloba do condutor interno e do externo, totalizando . Assim

Resposta

O campo elétrico vale
E(r)= 0, & r < a,[6pt] dfracQ2pivarepsilon0 L,r, & a < r < b,[6pt] 0, & r > b

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