Um capacitor cilíndrico é composto por duas superfícies condutoras cilíndricas concentricas, uma de raio
e outra de raio
, onde
. A superfície cilíndrica interna tem carga positiva
, enquanto a superfície mais externa tem carga negativa
. Determine: a) o campo eletrostático em todos os pontos, utilizando a lei de Gauss.
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos um capacitor cilíndrico formado por dois condutores coaxiais: um tubo interno de raio
com carga
e outro tubo externo de raio
com carga
. O que precisamos é achar o campo elétrico em todo lugar usando a Lei de Gauss. Para isso vamos usar:
- Lei de Gauss:
. - Simetria cilíndrica: o campo aponta radialmente e só depende da distância
ao eixo.
Passo 2
Vamos escolher como superfície gaussiana um cilindro de comprimento
e raio qualquer
, coaxial com os condutores. A área lateral vale
e as tampas não contribuem porque
é paralelo à superfície lateral e perpendicular às tampas. Então Gauss vira
Passo 3
Região 1:
.
Aqui o cilindro gaussiano está inteiramente dentro do metal interno. Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo interno é zero e toda carga está na superfície de raio . Logo
Aqui o cilindro gaussiano está inteiramente dentro do metal interno. Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo interno é zero e toda carga está na superfície de raio
Passo 4
Região 2:
.
Agora o cilindro engloba toda a carga +Q do condutor interno e nada do externo. Então e
Agora o cilindro engloba toda a carga +Q do condutor interno e nada do externo. Então
Isto mostra que o campo decai como
.
Passo 5
Região 3:
.
Quando , a gaussiana engloba
do condutor interno e
do externo, totalizando
. Assim
Quando
Resposta
O campo elétrico vale