Uma esfera de raio
tem uma densidade volumétrica de cargas dependente da coordenada radial da seguinte forma
. Determine: b) o campo elétrico no interior da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico dentro de uma esfera com densidade de carga que varia com a distância do centro. A gente vai usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que ajuda a calcular campos elétricos em situações com simetria. Pra isso, precisamos entender como a carga está distribuída dentro da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica $ \varepsilon_0 $. Matematicamente, isso é:
Como a densidade de carga varia com a distância $ r $, precisamos calcular a carga interna $ Q_{interno} $ dentro de um raio $ r $ menor que $ R $.
Passo 3
A densidade volumétrica de carga é dada por $ \rho_v = \rho_s \frac{r}{R} $. Para encontrar a carga interna, vamos integrar essa densidade sobre o volume de uma esfera de raio $ r $:
Passo 4
Vamos simplificar a integração:
Passo 5
Agora aplicamos a Lei de Gauss. Consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $. Devido à simetria, o campo elétrico $ E $ é o mesmo em toda a superfície e perpendicular a ela. Então, o fluxo elétrico é:
Igualando à carga interna dividida por $ \varepsilon_0 $:
Passo 6
Resolvendo para $ E $:
Resposta
O campo elétrico no interior da esfera, a uma distância $ r $ do centro, é dado por: