Orbitais híbridos sp^2 orientados no plano xy podem ser descritos pelas seguintes funções de onda:
psi1=1raiz3(s+raiz2 px) psi2=1raiz3(s-1raiz2 px+raiz32 py) psi3=1raiz3(s-1raiz2 px-raiz32 py)
Use orbitais hidrogenoides para escrever explicitamente a parte angular do orbital híbrido psi2. Chame a parte radial das funções de onda como fs(r) e fp(r) para os orbitais atômicos s e p, respectivamente.

Passo 1

Beleza, a questão dá três orbitais híbridos em termos de funções atômicas (s, pₓ, pᵧ) e manda “usar orbitais hidrogenoides para escrever explicitamente a parte angular do ψ₂”.
Conteúdo: mecânica quântica – separação de orbitais em parte radial e angular (armônicas esféricas).
O que vamos precisar:
  1. Saber que o orbital s de hidrogênio é
    \psi_s(r,θ,φ)=f_s®,Y_0^0(θ,φ),
    onde Y₀⁰=1/√(4π).
  2. Saber que os orbitais pₓ e pᵧ têm parte angular
    Y_{pₓ}(θ,φ)=√(3/4π),\sinθ\cosφ,
    Y_{pᵧ}(θ,φ)=√(3/4π),\sinθ\sinφ,
    e que suas partes radiais são f_p®.
    A partir daí basta trocar esses Y e f no ψ₂.

Passo 2

Vamos escrever cada orbital atômico:
  • s: ψ_s(r,θ,φ)=f_s®;Y_0^0(θ,φ)=f_s®;\frac{1}{\sqrt{4\pi}}
  • pₓ: ψ_{pₓ}(r,θ,φ)=f_p®;Y_{pₓ}(θ,φ)=f_p®;\sqrt{\frac{3}{4\pi}},\sinθ\cosφ
  • pᵧ: ψ_{pᵧ}(r,θ,φ)=f_p®;Y_{pᵧ}(θ,φ)=f_p®;\sqrt{\frac{3}{4\pi}},\sinθ\sinφ
Isso mostra claramente a parte radial (f_s ou f_p) e a parte angular (Y).

Passo 3

O enunciado dá
ψ₂=1/√3\Bigl(s−\tfrac1{√2},pₓ+√(3/2),pᵧ\Bigr).
Substituindo cada orbital atômico:
ψ₂(r,θ,φ)=
1√3[
f_s®\frac1{√{4π}}
−\frac1{√2}f_p®\sqrt{3/4π}\sinθ\cosφ
+√(3/2)f_p®\sqrt{3/4π}\sinθ\sinφ
].

Passo 4

Agora a gente separa a parte radial (que depende só de r) e a parte angular (que depende só de θ,φ):
ψ₂(r,θ,φ)=
f_s®,\Bigl[\frac1{√3,√{4π}}\Bigr]
+f_p®,\Bigl[
−\frac1{√3,√2}\sqrt{\frac{3}{4π}}\sinθ\cosφ
  • \frac{√{3/2}}{√3}\sqrt{\frac{3}{4π}}\sinθ\sinφ
    \Bigr].
O que importa pra questão é a parte angular, então podemos agrupar tudo que depende de θ,φ.

Resposta

A parte angular de ψ₂ é
A(θ,φ)=1raiz3,4pi ;-;1raiz8pisinθcosφ ;+;raiz3raiz8pisinθsinφ,
Ou, em forma “sem simplificar” os coeficientes:
A(θ,φ)=1raiz3;Y0^0(θ,φ);-;1raiz3,2;Ypₓ(θ,φ);+;raiz3/2raiz3;Ypᵧ(θ,φ),
E essa é exatamente a parte que só depende de θ e φ do orbital híbrido ψ₂.

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