Normalize as combinações lineares h1=(sin zeta) s+(cos zeta) p e h2=(cos zeta) s-(sin zeta) p, dado que os orbitais s e p são, cada um deles, normalizados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que normalizar duas combinações lineares de orbitais, que são basicamente misturas dos orbitais s e p. Normalizar significa ajustar essas combinações para que a “intensidade” total delas seja igual a 1. Para isso, vamos usar o fato de que os orbitais s e p já estão normalizados, ou seja, cada um deles tem intensidade 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é normalização. Uma função (ou orbital, no caso) está normalizada se a integral do seu quadrado for igual a 1. Matemáticamente, se temos uma função f, então está normalizada se:
integral |f|^2 , dx = 1
Para combinações lineares, precisamos garantir que a soma das intensidades das partes multiplicadas também seja 1.

Passo 3

Vamos começar com h1 = (sin zeta) s + (cos zeta) p. Para normalizar, calculamos o quadrado da norma de h1:
||h1||^2 = (sin zeta)^2 ||s||^2 + (cos zeta)^2 ||p||^2 + 2 (sin zeta)(cos zeta) lang<= s | p rang<=
Como s e p são normalizados e assumindo que são ortogonais (ou seja, lang<= s | p rang<= = 0), isso simplifica para:
||h1||^2 = (sin zeta)^2 + (cos zeta)^2 = 1
Então, h1 já está normalizado.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para h2 = (cos zeta) s - (sin zeta) p. Calculando a norma:
||h2||^2 = (cos zeta)^2 ||s||^2 + (sin zeta)^2 ||p||^2 - 2 (cos zeta)(sin zeta) lang<= s | p rang<=
Novamente, usando que s e p são normalizados e ortogonais:
||h2||^2 = (cos zeta)^2 + (sin zeta)^2 = 1
Então, h2 também já está normalizado.

Resposta

As combinações lineares h1 e h2 estão normalizadas, ou seja,
||h1|| = 1 e ||h2|| = 1

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