Um capacitor cilíndrico é construído com dois cilindros concêntricos, o interno de raio a esta carregado com carga positiva, enquanto o externo, de raio b, apresenta carga negativa.
Pretende-se agora aumentar a capacitância deste capacitor inserindo um dielétrico de constante k em somente metade do cilindro, como a figura. Faça uma avaliação de como poderíamos calcular a nova capacitância. Explique em detalhes e calcule-a!

Passo 1

Beleza, temos um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros concêntricos: o interno de raio e o externo de raio , carregados com cargas opostas. A novidade é que inserimos um dielétrico de constante ocupando metade do espaço angular (metade do “anel”), e a outra metade fica com vácuo ( ). Queremos achar a nova capacitância.
Conteúdo: eletrostática (Lei de Gauss), definição , capacitância de capacitor coaxial, e associação em paralelo de “setores” de capacitância.

Passo 2

Primeiro, lembra que para um capacitor coaxial homogêneo (com permissividade V = integrala^b E(r),dr = integrala^b Q2pivarepsilon,ell,r,dr = Q2pivarepsilon,ell,ln!ba em todo o anel) a gente usa a Lei de Gauss pra achar o campo elétrico:
  1. Escolhe superfície cilíndrica coaxial de raio C=2pivarepsilon,ellln!ba , entre .
  2. Gauss diz .
  3. Como é radial e constante em , .
  4. A diferença de potencial entre os cilindros é
  1. A capacitância vira

Passo 3

No nosso caso, o anel de C'(varepsilon,De; ficou dividido em dois setores angulares de :
  • Um setor com dielétrico ( ).
  • Outro setor com vácuo ( ).
Cada setor se comporta como um capacitor coaxial “parcial” com ângulo . Para um setor angular , a capacitância por comprimento fica
Aqui .

Passo 4

Tratamos os dois setores como capacitores em paralelo (mesma diferença de potencial), então somamos as capacitâncias por unidade de comprimento:
C'rm total = C'rm dielétrico + C'rm vácuo = kvarepsilon0,piln(b/a) + varepsilon0,piln(b/a) = varepsilon0,pi,(1+k)ln(b/a) éá
Multiplicando pelo comprimento C = C'rm total,ell = varepsilon0,pi,(1+k),ellln(b/a) , obtemos a capacitância total:

Resposta

boxedC = pi,varepsilon0,(1+k),ellln!l(tfracbar)

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