Um capacitor cilíndrico é construído com dois cilindros concêntricos, o interno de raio a esta carregado com carga positiva, enquanto o externo, de raio b, apresenta carga negativa.
(a) Determine a diferença de potencial entre os cilindros, considerando-os a princípio infinitos e com densidades superficiais de carga sigma e -sigma;

Passo 1

O exercício fala de um capacitor formado por dois cilindros infinitos e concêntricos: o interno de raio com carga positiva (densidade superficial ) e o externo de raio com carga negativa (densidade ). Precisamos encontrar a diferença de potencial entre esses dois cilindros.
Conteúdo: eletrostática (Lei de Gauss e relação entre campo e potencial).
O que vamos usar:
  1. Lei de Gauss para achar o campo elétrico no espaço entre os cilindros (para ).
  2. Relação para obter a diferença de potencial.

Passo 2

Aplicando a Lei de Gauss para um cilindro imaginário de raio Phi = oint Ecdot dA = E(r),(2pi rcdot1) ;=;lambdavarepsilon0 ;=;sigma,(2pi a)varepsilon0 , com E(r);=;sigma,(2pi a)2pi r,varepsilon0 ;=;sigma,avarepsilon0,r :
  • A carga total por unidade de comprimento contida dentro desse cilindro é a do cilindro interno:
    áçã.
  • A superfície gaussiana tem área .
    Pela Lei de Gauss:
Logo,

Passo 3

Agora usamos a relação entre campo e potencial para calcular a diferença de potencial do cilindro interno ( V(b)-V(a) ;=; -integrala^b E(r),dr ;=; -integrala^b sigma,avarepsilon0,r,dr ;=; -sigma,avarepsilon0 l[ln rr]a^b ;=; -sigma,avarepsilon0,ln!l(tfracbar) ) até o externo ( ):

Resposta

A diferença de potencial entre o cilindro interno e o externo (potencial do interno menos potencial do externo) é
boxed,De

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