Exercício 11.3 Você tem um semicondutor intrínsico, um semicondutor tipo- p, e um semicondutor tipo- n. As amostras dopadas possuem a mesma densidade de átomos dopantes. Qual dos três semicondutores você espera que tenha
o maior número de elétrons

Passo 1

O enunciado dá três amostras: um semicondutor intrínseco, um semicondutor do tipo- p e um semicondutor do tipo- n. Diz que as amostras dopadas (o tipo- p e o tipo- n) possuem a mesma densidade de átomos dopantes. A pergunta é: qual dos três semicondutores terá o maior número de elétrons?
Informações relevantes que temos do enunciado:
\bullet Há três materiais: intrínseco, p-tipo e n-tipo.
\bullet As amostras dopadas têm a mesma densidade de dopantes — vou chamar essa densidade de N. Para o n-tipo, N corresponde a N_D (doadores); para o p-tipo, N corresponde a N_A (aceptores).
\bullet Queremos comparar o número de elétrons (concentração de elétrons) nas três amostras.

Passo 2

Definições de variáveis e lei básica útil (explicando bem cada coisa):
\bullet n = concentração de elétrons livres (número de elétrons por volume).
\bullet p = concentração de lacunas (holes) por volume.
\bullet n_i = concentração intrínseca de portadores (concentração de elétrons = concentração de lacunas num semicondutor intrínseco, depende da temperatura e do material).
\bullet N_D = densidade de doadores (átomos dopantes que doam elétrons) — para o n-tipo.
\bullet N_A = densidade de aceptores (átomos dopantes que capturam elétrons, criando lacunas) — para o p-tipo.
Uma relação fundamental (muito usada em semicondutores) é a lei do equilíbrio de massa:
np = n_i^2.
Isto significa que, à temperatura fixa, o produto das concentrações de elétrons e lacunas é constante e igual a n_i^2. É uma consequência do equilíbrio térmico entre banda de condução e banda de valência.

Passo 3

Caso intrínseco (explicação passo a passo):
Num semicondutor intrínseco não há dopantes ionizados, então as gerações térmicas criam pares elétron-lacuna simetricamente. Assim:
n_{\text{intrínseco}} = p_{\text{intrínseco}} = n_i.íí
Isso vem da simetria e da lei np=n_i^2: se n=p então n^2=n_i^2 e portanto n=n_i. Logo a concentração de elétrons no intrínseco é \;n_i.

Passo 4

Caso n-tipo (derivação e aproximação):
Para um semicondutor n-tipo com doadores em densidade N_D (vou usar N_D=N porque o enunciado diz que as dopagens são iguais), assumimos que os doadores estão totalmente ionizados (condição válida a temperaturas comuns e para dopagens não extremamente altas). Isso dá uma carga positiva de doadores ionizados N_D^+ \approx N_D. A neutralidade elétrica exige:
n - p = N_D.
Juntando com a lei do equilíbrio de massa np=n_i^2, temos um sistema para n e p. Eliminando p (usando p = n_i^2 / n) obtemos uma equação para n:
n - \frac{n_i^2}{n} = N_D.
Multiplicando por n e rearranjando:
n^2 - N_D\,n - n_i^2 = 0.
Solução positiva desta quadrática:
n = \frac{N_D}{2} + \sqrt{\left(\frac{N_D}{2}\right)^2 + n_i^2}.
Agora uma aproximação muito usada: para dopagem típica temos N_D \gg n_i. Nesse caso a raiz domina e a expressão se aproxima de
n \approx N_D.
Interpretação física: em um n-tipo com dopagem significativa, os elétrons fornecidos pelos doadores são muito mais numerosos que os elétrons intrínsecos, então os elétrons se tornam os portadores majoritários e sua concentração é aproximadamente a densidade de doadores.

Passo 5

Caso p-tipo (derivação e aproximação):
Analogamente para o p-tipo com aceptores N_A (vou usar N_A=N porque o enunciado igualou as densidades), assumindo aceptores totalmente ionizados, a neutralidade dá:
p - n = N_A.
Usando np = n_i^2 e eliminando p = n_i^2 / n desta vez não é direto — melhor usar p = N_A + n e multiplicar por n:
n(N_A + n) = n_i^2,
ou seja
n^2 + N_A n - n_i^2 = 0.
Solução positiva:
n = \frac{-N_A}{2} + \sqrt{\left(\frac{N_A}{2}\right)^2 + n_i^2}.
Para N_A \gg n_i (caso de dopagem típica), podemos aproximar a raiz e obter a aproximação simples por manipulação assintótica:
n \approx \frac{n_i^2}{N_A}.
Isto mostra que em um p-tipo os elétrons são minoritários e sua concentração é muito baixa, inversamente proporcional à densidade de aceptores.

Passo 6

Comparação numérica ilustrativa (para ver ordens de grandeza) e conclusão:
Escolha típica para muitos semicondutores em temperatura ambiente: n_i pode ser algo como 10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}} (dependendo do material). Suponha dopagem comum N = 10^{15}\,\mathrm{cm^{-3}} (mesma para n-tipo e p-tipo). Então:
\bullet Intrínseco: n_{\text{intrínseco}} = n_i = 10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}}í.
\bullet n-tipo: n \approx N_D = 10^{15}\,\mathrm{cm^{-3}}.
\bullet p-tipo: n \approx n_i^2/N_A = (10^{10})^2 / 10^{15} = 10^5\,\mathrm{cm^{-3}}.
Comparando estas ordens de grandeza vemos claramente que o n-tipo tem muito mais elétrons do que o intrínseco, que por sua vez tem muito mais elétrons do que o p-tipo, para a hipótese N \gg n_i.
Observação importante (caso limite): se a densidade de dopantes N for tão pequena que N \lesssim n_i, então a dopagem não altera muito as concentrações e o intrínseco pode ter número de elétrons comparável ou maior. Mas em problemas padrão de semicondutores a hipótese implícita é dopagem significativa, então N \gg n_i.

Resposta

Semicondutor tipo- n.

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