Exercício 11.3 Você tem um semicondutor intrínsico, um semicondutor tipo-
, e um semicondutor tipo-
. As amostras dopadas possuem a mesma densidade de átomos dopantes. Qual dos três semicondutores você espera que tenha
o maior número de elétrons
o maior número de elétrons
Passo 1
O enunciado dá três amostras: um semicondutor intrínseco, um semicondutor do tipo-
e um semicondutor do tipo-
. Diz que as amostras dopadas (o tipo-
e o tipo-
) possuem a mesma densidade de átomos dopantes. A pergunta é: qual dos três semicondutores terá o maior número de elétrons?
Informações relevantes que temos do enunciado:
Há três materiais: intrínseco,
-tipo e
-tipo.
As amostras dopadas têm a mesma densidade de dopantes — vou chamar essa densidade de
. Para o
-tipo,
corresponde a
(doadores); para o
-tipo,
corresponde a
(aceptores).
Queremos comparar o número de elétrons (concentração de elétrons) nas três amostras.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Passo 2
Definições de variáveis e lei básica útil (explicando bem cada coisa):
= concentração de elétrons livres (número de elétrons por volume).
= concentração de lacunas (holes) por volume.
= concentração intrínseca de portadores (concentração de elétrons = concentração de lacunas num semicondutor intrínseco, depende da temperatura e do material).
= densidade de doadores (átomos dopantes que doam elétrons) — para o
-tipo.
= densidade de aceptores (átomos dopantes que capturam elétrons, criando lacunas) — para o
-tipo.
Uma relação fundamental (muito usada em semicondutores) é a lei do equilíbrio de massa:
Uma relação fundamental (muito usada em semicondutores) é a lei do equilíbrio de massa:
Isto significa que, à temperatura fixa, o produto das concentrações de elétrons e lacunas é constante e igual a
. É uma consequência do equilíbrio térmico entre banda de condução e banda de valência.
Passo 3
Caso intrínseco (explicação passo a passo):
Num semicondutor intrínseco não há dopantes ionizados, então as gerações térmicas criam pares elétron-lacuna simetricamente. Assim:
Num semicondutor intrínseco não há dopantes ionizados, então as gerações térmicas criam pares elétron-lacuna simetricamente. Assim:
Isso vem da simetria e da lei
: se
então
e portanto
. Logo a concentração de elétrons no intrínseco é
.
Passo 4
Caso
-tipo (derivação e aproximação):
Para um semicondutor -tipo com doadores em densidade
(vou usar
porque o enunciado diz que as dopagens são iguais), assumimos que os doadores estão totalmente ionizados (condição válida a temperaturas comuns e para dopagens não extremamente altas). Isso dá uma carga positiva de doadores ionizados
. A neutralidade elétrica exige:
Para um semicondutor
Juntando com a lei do equilíbrio de massa
, temos um sistema para
e
. Eliminando
(usando
) obtemos uma equação para
:
Multiplicando por
e rearranjando:
Solução positiva desta quadrática:
Agora uma aproximação muito usada: para dopagem típica temos
. Nesse caso a raiz domina e a expressão se aproxima de
Interpretação física: em um
-tipo com dopagem significativa, os elétrons fornecidos pelos doadores são muito mais numerosos que os elétrons intrínsecos, então os elétrons se tornam os portadores majoritários e sua concentração é aproximadamente a densidade de doadores.
Passo 5
Caso
-tipo (derivação e aproximação):
Analogamente para o -tipo com aceptores
(vou usar
porque o enunciado igualou as densidades), assumindo aceptores totalmente ionizados, a neutralidade dá:
Analogamente para o
Usando
e eliminando
desta vez não é direto — melhor usar
e multiplicar por
:
ou seja
Solução positiva:
Para
(caso de dopagem típica), podemos aproximar a raiz e obter a aproximação simples por manipulação assintótica:
Isto mostra que em um
-tipo os elétrons são minoritários e sua concentração é muito baixa, inversamente proporcional à densidade de aceptores.
Passo 6
Comparação numérica ilustrativa (para ver ordens de grandeza) e conclusão:
Escolha típica para muitos semicondutores em temperatura ambiente: pode ser algo como
(dependendo do material). Suponha dopagem comum
(mesma para
-tipo e
-tipo). Então:
Intrínseco:
.
-tipo:
.
-tipo:
.
Comparando estas ordens de grandeza vemos claramente que o -tipo tem muito mais elétrons do que o intrínseco, que por sua vez tem muito mais elétrons do que o
-tipo, para a hipótese
.
Observação importante (caso limite): se a densidade de dopantes for tão pequena que
, então a dopagem não altera muito as concentrações e o intrínseco pode ter número de elétrons comparável ou maior. Mas em problemas padrão de semicondutores a hipótese implícita é dopagem significativa, então
.
Escolha típica para muitos semicondutores em temperatura ambiente:
Comparando estas ordens de grandeza vemos claramente que o
Observação importante (caso limite): se a densidade de dopantes
Resposta
Semicondutor tipo-
.