Exercício 11.3 Você tem um semicondutor intrínsico, um semicondutor tipo- p, e um semicondutor tipo- n. As amostras dopadas possuem a mesma densidade de átomos dopantes. Qual dos três semicondutores você espera que tenha
o maior número de buracos entrando na bateria na medida que eles deixam o semicondutor?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual dos três semicondutores — semicondutor intrínseco, semicondutor tipo- p ou semicondutor tipo- n — terá o maior número de buracos entrando na bateria à medida que eles deixam o semicondutor, sabendo que as amostras dopadas possuem a mesma densidade de átomos dopantes?”
Informações dadas e coisas importantes do enunciado:
  • Temos três amostras: intrínseca, tipo- p e tipo- n.
  • As amostras dopadas (tipo- p e tipo- n) têm a mesma densidade de átomos dopantes; chamo essa densidade de N.
  • A pergunta é sobre o número de buracos que saem do semicondutor e entram na bateria — em outras palavras, sobre qual material tem a maior concentração de buracos disponíveis para sair.

Passo 2

Conceitos básicos (bem devagarinho, sem pular etapas). O que são “buracos” e por que a concentração importa:
  • Em semicondutores, há dois tipos de cargas móveis que transportam corrente: elétrons (cargas negativas) e buracos (cargas positivas). Um buraco é simplesmente a ausência de um elétron numa banda de valência — pensa no buraco como uma carga positiva móvel.
  • A “concentração de buracos” num material é o número de buracos por unidade de volume; quanto maior essa concentração, mais buracos podem contribuir para a corrente e, portanto, mais buracos podem “sair” para a bateria quando conectamos o circuito.
  • Logo, para responder a pergunta basta comparar as concentrações de buracos nos três materiais: intrínseco, tipo- p e tipo- n.

Passo 3

Lei da ação de massas e relações úteis (foi-se a teoria necessária):
  • Existe uma relação fundamental entre as concentrações de elétrons n e de buracos p em equilíbrio térmico: a lei da ação de massas,
np = n_i^2,
onde n_i é a concentração intrínseca de portadores (número de elétrons — igual ao número de buracos — num semicondutor intrínseco a uma dada temperatura).
  • Explicando a fórmula: n é a densidade de elétrons na banda de condução, p é a densidade de buracos na banda de valência, e n_i é uma constante do material e da temperatura — por exemplo, para silício à temperatura ambiente n_i é da ordem de 10^{10}\,\text{cm}^{-3} (vou usar um valor típico depois para ilustrar).
  • Essa relação serve para transformar entre n e p: se conhecemos n, então p = n_i^2 / n, e vice-versa.

Passo 4

O que acontece quando dopamos (conceito de dopagem, majoritários e minoritários):
  • Dopagem tipo- p: adicionamos átomos aceitadores com densidade N_A que aceitam um elétron e deixam um buraco. Em dopagem moderada (isto é, quando N_A é muito maior que n_i), os buracos tornam-se o portador majoritário e a concentração de buracos aproxima-se de
p \approx N_A.
Isso porque cada átomo aceitador ionizado contribui aproximadamente um buraco.
  • Dopagem tipo- n: adicionamos doadores com densidade N_D. Os elétrons são majoritários e a concentração de buracos, por serem minoritários, fica pequena e pode ser aproximada por
p \approx \frac{n_i^2}{N_D},
usando a lei da ação de massas com n \approx N_D.
  • Material intrínseco: sem dopantes, temos
p = n = n_i.
  • Observação prática: as aproximações acima são válidas quando a dopagem é suficientemente maior que n_i (caso típico em problemas e em dispositivos reais).

Passo 5

Aplicando ao nosso caso com mesma densidade de dopantes N:
  • Para o semicondutor tipo- p (usando N_A = N):
p_{p} \approx N.
  • Para o semicondutor tipo- n (usando N_D = N):
p_{n} \approx \frac{n_i^2}{N}.
  • Para o semicondutor intrínseco:
p_{\text{intrínseco}} = n_i.í
Agora comparar p_{p}, p_{\text{intrínseco}}í e p_{n}.

Passo 6

Comparação lógica e exemplo numérico para ficar concreto:
  • Compare p_p = N com p_{\text{intrínseco}} = n_ií. Em semicondutores reais, a dopagem típica usada em problemas e em dispositivos é muito maior que a concentração intrínseca; isto é, normalmente N \gg n_i. Assim geralmente
p_p = N \gg n_i = p_{\text{intrínseco}}.í
  • Compare p_{\text{intrínseco}} = n_ií com p_n = n_i^2/N. Se N \gg n_i, então n_i^2/N \ll n_i, portanto
p_n \ll p_{\text{intrínseco}}.í
  • Resultado geral (caso típico N \gg n_i):
p_p \gg p_{\text{intrínseco}} \gg p_n.í
  • Exemplo numérico (só para fixar a intuição): suponha n_i = 1{,}5\times10^{10}\,\text{cm}^{-3} (valor típico para silício a 300 K) e N = 10^{16}\,\text{cm}^{-3}. Então
p_p \approx 10^{16},
p_{\text{intrínseco}} = 1{,}5\times10^{10},í
p_n \approx \frac{(1{,}5\times10^{10})^2}{10^{16}} = \frac{2{,}25\times10^{20}}{10^{16}} = 2{,}25\times10^{4}.
Claramente p_p é muito maior que os outros dois; o intrínseco é intermediário; o tipo- n tem pouquíssimos buracos.

Passo 7

Conclusão e observação final de bom senso (para não ficar inseguro):
  • Portanto, sob a premissa usual de que a dopagem é significativa ( N maior que n_i), o semicondutor tipo- p terá o maior número de buracos disponíveis para sair e entrar na bateria.
  • Observação: se alguém imaginasse um caso extremo em que N fosse tão pequeno que N < n_i, as contas mudariam (então o material dopado poderia se comportar quase como intrínseco). Mas na prática, quando se fala de amostras dopadas com uma densidade N, a interpretação padrão é N\gg n_i.

Resposta

O semicondutor tipo- p

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