Um capacitor esférico contém carga de 3.2 nC, quando está conectado a uma diferença de potencial de 272 V . Supondo que as placas estejam separadas por vácuo e o raio interno da casca externa seja igual a 3.8 cm , calcule:
a) a capacitância;
b) o raio da esfera interna;

Passo 1

O enunciado dá um capacitor esférico com carga e diferença de potencial e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido:
  • Dados fornecidos:
    • Carga: \;Q = 3{,}2\\ \text{nC}.
    • Diferença de potencial entre as placas (tensão): \;V = 272\\ \text{V}.
    • Raio interno da casca externa (raio interno do invólucro): \;b = 3{,}8\\ \text{cm}.
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a capacitância do capacitor.
    • (b) Calcular o raio da esfera interna (ou seja, o raio a da esfera interna concêntrica).
Observação: o enunciado supõe vácuo entre as placas; portanto usaremos a permissividade do vácuo \varepsilon_0.

Passo 2

Primeiro convertemos tudo para unidades do Sistema Internacional (SI), porque as fórmulas de eletrostática usam SI:
  • Converter a carga:
    Q = 3{,}2\\ \text{nC} = 3{,}2\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}.
  • Converter o raio b:
    b = 3{,}8\\ \text{cm} = 0{,}038\\ \mathrm{m}.
  • Permissividade do vácuo (constante conhecida):
    \varepsilon_0 = 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Essas são as conversões essenciais para começar os cálculos.

Passo 3

(a) Vamos calcular a capacitância usando a definição básica de capacitância: capacitância é a razão entre carga armazenada e diferença de potencial entre as placas. Em fórmula:
C = \frac{Q}{V},
onde
  • \;C é a capacitância (em farads, \mathrm{F});
  • \;Q é a carga (em coulombs, \mathrm{C});
  • \;V é a diferença de potencial (em volts, \mathrm{V}).
Essa fórmula vale para qualquer capacitor: a capacitância é definida por essa relação em regime estático.

Passo 4

Aplicando \;C=\dfrac{Q}{V} com os valores em SI:
C = \frac{3{,}2\times 10^{-9}}{272}\\ \mathrm{F}.
Agora fazemos a divisão (mostrando passo a passo):
\frac{3{,}2}{272} = 0{,}01176470588\ldots
então
C = 0{,}01176470588\times 10^{-9}\\ \mathrm{F} = 1{,}176470588\times 10^{-11}\\ \mathrm{F}.
Arredondando de forma conveniente (três algarismos significativos):
C \approx 1{,}18\times 10^{-11}\\ \mathrm{F} = 11{,}8\\ \text{pF}.

Passo 5

(b) Para achar o raio interno a usamos a expressão do potencial entre duas esferas concêntricas em vácuo. Explicando de onde vem: o campo elétrico entre as esferas (assumindo carga Q na esfera interna e a casca externa com carga oposta) é o mesmo que o campo de uma carga pontual Q para a<r<b, ou seja
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.
A diferença de potencial entre as duas superfícies é a integral de -E entre as posições radiais, e isso leva à fórmula padrão:
V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right),
onde
  • \;a é o raio da esfera interna (o que queremos);
  • \;b é o raio interno da casca externa (dado);
  • \;V é a diferença de potencial entre as placas (tomando potencial da casca externa como referência).
Essa fórmula é obtida integrando E(r) de r=b até r=a: V=\int_b^a E(r)\,dr.

Passo 6

Agora isolamos \;a a partir da fórmula:
V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Rearranjando,
\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{4\pi\varepsilon_0\,V}{Q}.
Portanto
a = \frac{1}{\dfrac{1}{b} + \dfrac{4\pi\varepsilon_0\,V}{Q}}.
Vou calcular cada termo numérico separadamente para ficar transparente.

Passo 7

Calcular 4\pi\varepsilon_0:
4\pi\varepsilon_0 = 4\pi\cdot 8{,}854187817\times 10^{-12} = 1{,}112650056\times 10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
Multiplicar por V e dividir por Q:
\frac{4\pi\varepsilon_0\,V}{Q} = \frac{1{,}112650056\times 10^{-10}\times 272}{3{,}2\times 10^{-9}}.
Primeiro o produto no numerador:
1{,}112650056\times 10^{-10}\times 272 = 3{,}026408152\times 10^{-8}.
Agora dividir por 3{,}2\times 10^{-9}:
\frac{3{,}026408152\times 10^{-8}}{3{,}2\times 10^{-9}} = 9{,}457525476\\ \mathrm{m^{-1}}\\ (\text{aprox.}).
Calcular \dfrac{1}{b}:
\frac{1}{b} = \frac{1}{0{,}038} = 26{,}31578947\\ \mathrm{m^{-1}}.
Somar os termos:
\frac{1}{a} = 26{,}31578947 + 9{,}457525476 = 35{,}77331495\\ \mathrm{m^{-1}}.
Finalmente inverter para obter a:
a = \frac{1}{35{,}77331495} = 0{,}027961\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Converter o resultado para centímetros e arredondar de forma conveniente:
a = 0{,}027961\\ \mathrm{m} = 2{,}7961\\ \text{cm}.
Arredondando para três algarismos significativos:
a \approx 2{,}80\\ \text{cm}.
Vou fazer um rápido check: usando a fórmula da capacitância para esferas concêntricas,
C = 4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a},
substituindo a\approx 0{,}027961\\ \mathrm{m} e b=0{,}038\\ \mathrm{m} deve voltar próximo de 1{,}18\times 10^{-11}\\ \mathrm{F}, o que confirma consistência (esse é apenas um controle rápido).

Resposta

(a) \;C \approx 1{,}18\times 10^{-11}\\ \mathrm{F} \;(=11{,}8\\ \text{pF})\n
(b) \;a \approx 2{,}80\\ \text{cm} \;(=0{,}02796\\ \mathrm{m})

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