Um capacitor esférico contém carga de 3.2 nC, quando está conectado a uma diferença de potencial de 272 V . Supondo que as placas estejam separadas por vácuo e o raio interno da casca externa seja igual a 3.8 cm , calcule:
a) a capacitância;
b) o raio da esfera interna;
a) a capacitância;
b) o raio da esfera interna;
Passo 1
O enunciado dá um capacitor esférico com carga e diferença de potencial e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi informado e o que é pedido:
-
Dados fornecidos:
- Carga:
. - Diferença de potencial entre as placas (tensão):
. - Raio interno da casca externa (raio interno do invólucro):
.
- Carga:
-
Perguntas:
- (a) Calcular a capacitância do capacitor.
- (b) Calcular o raio da esfera interna (ou seja, o raio
da esfera interna concêntrica).
Observação: o enunciado supõe vácuo entre as placas; portanto usaremos a permissividade do vácuo
.
Passo 2
Primeiro convertemos tudo para unidades do Sistema Internacional (SI), porque as fórmulas de eletrostática usam SI:
-
Converter a carga:
-
Converter o raio
: -
Permissividade do vácuo (constante conhecida):
Essas são as conversões essenciais para começar os cálculos.
Passo 3
(a) Vamos calcular a capacitância usando a definição básica de capacitância: capacitância é a razão entre carga armazenada e diferença de potencial entre as placas. Em fórmula:
onde
-
é a capacitância (em farads, ); -
é a carga (em coulombs, ); -
é a diferença de potencial (em volts, ).
Essa fórmula vale para qualquer capacitor: a capacitância é definida por essa relação em regime estático.
Passo 4
Aplicando
com os valores em SI:
Agora fazemos a divisão (mostrando passo a passo):
então
Arredondando de forma conveniente (três algarismos significativos):
Passo 5
(b) Para achar o raio interno
usamos a expressão do potencial entre duas esferas concêntricas em vácuo. Explicando de onde vem: o campo elétrico entre as esferas (assumindo carga
na esfera interna e a casca externa com carga oposta) é o mesmo que o campo de uma carga pontual
para
, ou seja
A diferença de potencial entre as duas superfícies é a integral de
entre as posições radiais, e isso leva à fórmula padrão:
onde
-
é o raio da esfera interna (o que queremos); -
é o raio interno da casca externa (dado); -
é a diferença de potencial entre as placas (tomando potencial da casca externa como referência).
Essa fórmula é obtida integrando
de
até
:
.
Passo 6
Agora isolamos
a partir da fórmula:
Rearranjando,
Portanto
Vou calcular cada termo numérico separadamente para ficar transparente.
Passo 7
Calcular
:
Multiplicar por
e dividir por
:
Primeiro o produto no numerador:
Agora dividir por
:
Calcular
:
Somar os termos:
Finalmente inverter para obter
:
Passo 8
Converter o resultado para centímetros e arredondar de forma conveniente:
Arredondando para três algarismos significativos:
Vou fazer um rápido check: usando a fórmula da capacitância para esferas concêntricas,
substituindo
e
deve voltar próximo de
, o que confirma consistência (esse é apenas um controle rápido).
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)