Partindo das equações horárias das posições e das velocidades no MUV, deduza a equação de Torricelli.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir das equações horárias da posição e da velocidade em movimento uniformemente variado, deduzir a equação conhecida como equação de Torricelli. As informações/igualdades dadas (que vamos usar) são:
x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
v = v_0 + a t
Aqui cada símbolo significa:
x:\text{ posição no instante }t,\quad x_0:\text{ posição inicial (em }t=0\text{)},çãçã
v:\text{ velocidade no instante }t,\quad v_0:\text{ velocidade inicial (em }t=0\text{)},
a:\text{ aceleração (constante)},\quad t:\text{ tempo}.çã
Objetivo claro: eliminar o tempo t entre essas duas equações e obter uma relação que ligue v, v_0, a e (x-x_0) — essa será a equação de Torricelli. Observação importante: a dedução abaixo assume a\neq 0. Se a=0 o movimento é retilíneo uniforme e a relação se reduz trivialmente (velocidade constante).

Passo 2

Isolamos t na equação da velocidade porque é a maneira mais direta de eliminar o tempo. Partindo de
v = v_0 + a t,
subtraímos v_0 e dividimos por a para obter:
t = \frac{v - v_0}{a}.
Explicação do passo: é simples álgebra linear — subtrair um termo que está somando e dividir pelo coeficiente a que multiplica t. Reforçando: isso exige a\neq 0.

Passo 3

Agora substituímos a expressão de t que encontramos na equação da posição. Começamos com
x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
e substituímos t=\dfrac{v-v_0}{a}, obtendo
x = x_0 + v_0\left(\frac{v - v_0}{a}\right) + \tfrac{1}{2}a\left(\frac{v - v_0}{a}\right)^{2}.
Aqui é só colocar a expressão de t nos dois lugares onde t aparece (no termo linear e no termo quadrático).

Passo 4

Simplificamos a expressão termo a termo para eliminar denominadores fracionários:
o segundo termo vira \dfrac{v_0(v-v_0)}{a}.
o terceiro termo tem \left(\dfrac{v-v_0}{a}\right)^2=\dfrac{(v-v_0)^2}{a^2} e multiplicado por \tfrac{1}{2}a fica \dfrac{(v-v_0)^2}{2a}.
Então reescrevemos a equação como
x - x_0 = \frac{v_0(v-v_0)}{a} + \frac{(v-v_0)^2}{2a}.
Agora multiplicamos ambos os lados por 2a para eliminar as frações (passo clássico para limpar denominadores):
2a(x - x_0) = 2v_0(v - v_0) + (v - v_0)^2.

Passo 5

Expandimos o lado direito para simplificar e ver o cancelamento elegante:
primeiro 2v_0(v-v_0) = 2v_0 v - 2v_0^2.
segundo (v-v_0)^2 = v^2 - 2v v_0 + v_0^2.
Somando os dois:
2v_0 v - 2v_0^2 + v^2 - 2v v_0 + v_0^2.
Agora agrupamos termos semelhantes: os termos 2v_0 v e -2v v_0 se cancelam; os termos em v_0^2 somam -2v_0^2 + v_0^2 = -v_0^2. Assim o resultado da soma é simplesmente
v^2 - v_0^2.
Portanto a equação do Passo 4 fica
2a(x - x_0) = v^2 - v_0^2.

Passo 6

Finalmente isolamos v^2 para escrever a equação na forma usual. Somando v_0^2 em ambos os lados obtemos
v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0).
Interpretação curta e prática: essa fórmula relaciona a variação do quadrado da velocidade com duas vezes a aceleração vezes o deslocamento; é útil porque não envolve o tempo t, então dá para calcular velocidade final conhecendo só aceleração e deslocamento.

Resposta

v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)

Exercícios relacionados