Partindo das equações horárias das posições e das velocidades no MUV, deduza a equação de Torricelli.
Passo 1
O enunciado pede para, a partir das equações horárias da posição e da velocidade em movimento uniformemente variado, deduzir a equação conhecida como equação de Torricelli. As informações/igualdades dadas (que vamos usar) são:
Aqui cada símbolo significa:
Objetivo claro: eliminar o tempo
entre essas duas equações e obter uma relação que ligue
,
,
e
— essa será a equação de Torricelli. Observação importante: a dedução abaixo assume
. Se
o movimento é retilíneo uniforme e a relação se reduz trivialmente (velocidade constante).
Passo 2
Isolamos
na equação da velocidade porque é a maneira mais direta de eliminar o tempo. Partindo de
subtraímos
e dividimos por
para obter:
Explicação do passo: é simples álgebra linear — subtrair um termo que está somando e dividir pelo coeficiente
que multiplica
. Reforçando: isso exige
.
Passo 3
Agora substituímos a expressão de
que encontramos na equação da posição. Começamos com
e substituímos
, obtendo
Aqui é só colocar a expressão de
nos dois lugares onde
aparece (no termo linear e no termo quadrático).
Passo 4
Simplificamos a expressão termo a termo para eliminar denominadores fracionários:
o segundo termo vira .
o terceiro termo tem e multiplicado por
fica
.
Então reescrevemos a equação como
o segundo termo vira
o terceiro termo tem
Então reescrevemos a equação como
Agora multiplicamos ambos os lados por
para eliminar as frações (passo clássico para limpar denominadores):
Passo 5
Expandimos o lado direito para simplificar e ver o cancelamento elegante:
primeiro .
segundo .
Somando os dois:
primeiro
segundo
Somando os dois:
Agora agrupamos termos semelhantes: os termos
e
se cancelam; os termos em
somam
. Assim o resultado da soma é simplesmente
Portanto a equação do Passo 4 fica
Passo 6
Finalmente isolamos
para escrever a equação na forma usual. Somando
em ambos os lados obtemos
Interpretação curta e prática: essa fórmula relaciona a variação do quadrado da velocidade com duas vezes a aceleração vezes o deslocamento; é útil porque não envolve o tempo
, então dá para calcular velocidade final conhecendo só aceleração e deslocamento.