Um capacitor de 8,5 \mathrm{mF} com placas paralelas e circulares está ligado a uma bateria de 10,5 \mathrm{~V}. (a) Qual é a carga sobre cada placa? (b) Quanta carga haveria sobre as placas, caso a distância entre elas fosse duplicada enquanto o capacitor permanecesse conectado à bateria? (c) Quanta carga haveria sobre as placas, caso o capacitor fosse conectado a uma bateria de 10,5 \mathrm{~V}, após o raio de cada placa ser duplicado, sem que a distância entre elas seja alterada?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • Um capacitor de placas paralelas e circulares tem capacitância C=8,5\times10^{-3}\\ \mathrm{F} (ou 8,5\\ \mathrm{mF}).
  • O capacitor está ligado a uma bateria de tensão V=10,5\\ \mathrm{V}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a carga sobre cada placa enquanto o capacitor está conectado à bateria?
    (b) Se a distância entre as placas for duplicada mantendo o capacitor conectado à bateria, qual será a nova carga em cada placa?
    (c) Se o raio de cada placa for duplicado (logo a área das placas muda) e depois o capacitor for conectado a uma bateria de 10,5\\ \mathrm{V} — sem alterar a distância entre as placas — qual será a carga em cada placa?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Definição de carga num capacitor: a carga Q armazenada num capacitor está relacionada à capacitância C e à diferença de potencial V por
Q = C\,V.
Aqui Q é a carga em coulombs ( \mathrm{C}), C é a capacitância em farads ( \mathrm{F}) e V é a tensão em volts ( \mathrm{V}). Essa fórmula é direta: a capacitância mede “quanto de carga se guarda por unidade de tensão”.
  • Para um capacitor de placas paralelas ideais a capacitância é dada por
C = \varepsilon_0\,\frac{A}{d},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante), A é a área de cada placa e d é a distância entre elas. Isso nos diz como C depende de A e d:
  • Se d dobra, C fica pela metade.
  • Se A quadruplica (por exemplo, duplicando o raio de placas circulares), C quadruplica.
  • Importante sobre conectar ao terminal da bateria: enquanto o capacitor permanece conectado à bateria, a tensão V entre as placas permanece fixa e igual à tensão da bateria. Assim, qualquer mudança em C enquanto estiver ligado muda diretamente Q por Q=C\,V. Se o capacitor for desconectado da bateria e então C for alterado, a carga pode se manter (caso isolado), mas aqui a bateria está presente ou o enunciado indica conexão depois da alteração conforme cada item — cuidaremos de cada caso.

Passo 3

Resolvendo (a): carga inicial com C dado e V conhecido.
  • Usamos a fórmula Q=C\,V.
  • Substituindo os valores:
Q = \left(8,5\times10^{-3}\\ \mathrm{F}\right)\cdot\left(10,5\\ \mathrm{V}\right).
  • Calcule passo a passo:
    • Primeiro 8,5\cdot10,5 = 89,25.
    • Então 8,5\times10^{-3}\cdot10,5 = 89,25\times10^{-3}.
    • Em forma decimal isso é 0,08925\\ \mathrm{C}.
  • Portanto a carga em cada placa (módulo) é Q=0,08925\\ \mathrm{C}. Podemos também expressar em miliCoulombs: Q=89,25\\ \mathrm{mC}.

Passo 4

Resolvendo (b): distância entre placas duplicada enquanto o capacitor permanece conectado à bateria.
  • Pelo modelo de placas paralelas, C=\varepsilon_0 A/d. Se duplicamos d (passamos de d para 2d), então a nova capacitância C' é
C' = \varepsilon_0\,\frac{A}{2d} = \frac{1}{2}\,\varepsilon_0\,\frac{A}{d} = \frac{C}{2}.
  • Como o capacitor permanece conectado à bateria, a tensão V continua sendo 10,5\\ \mathrm{V}. Logo a nova carga Q' é
Q' = C'\,V = \frac{C}{2}\,V = \frac{1}{2}(C\,V) = \frac{Q}{2}.
  • Numericamente, é metade do valor de (a):
    • Q' = \dfrac{0,08925\\ \mathrm{C}}{2} = 0,044625\\ \mathrm{C}.
    • Em miliCoulombs: 44,625\\ \mathrm{mC}.

Passo 5

Resolvendo (c): duplicar o raio das placas (e depois conectar à bateria de 10,5\\ \mathrm{V}), mantendo d inalterado.
  • Para placas circulares a área é A=\pi r^{2}. Se o raio r é duplicado (passa para 2r), a nova área A' é
A' = \pi (2r)^{2} = \pi\cdot4r^{2} = 4A.
  • Pela fórmula C=\varepsilon_0 A/d, a nova capacitância C' é
C'=\varepsilon_0\,\frac{A'}{d} = \varepsilon_0\,\frac{4A}{d} = 4\,\varepsilon_0\,\frac{A}{d} = 4C.
  • O enunciado diz que, após duplicar o raio, o capacitor é conectado à bateria de 10,5\\ \mathrm{V}. Sendo assim, a tensão aplicada será V e a carga será
Q'' = C'\,V = 4C\,V = 4(C\,V) = 4Q.
  • Numericamente:
    • Q'' = 4\cdot0,08925\\ \mathrm{C} = 0,357\\ \mathrm{C}.
    • Em miliCoulombs: 357\\ \mathrm{mC}.

Passo 6

Resumo numérico (verificação rápida de consistência):
  • (a) valor base 0,08925\\ \mathrm{C}.
  • (b) metade do anterior 0,044625\\ \mathrm{C} quando d dobra com bateria conectada.
  • (c) quatro vezes o anterior 0,357\\ \mathrm{C} quando o raio dobra e depois se conecta à bateria.
Força — você já tem a lógica principal: usar Q=C\,V e saber como C varia com A e d. Fazendo esses passos devagar na prova sai bem. Boa sorte!

Resposta

(a) 0,08925\\ \mathrm{C}
(b) 0,044625\\ \mathrm{C}
(c) 0,357\\ \mathrm{C}

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