Um capacitor esférico é formado por dois condutores esféricos concêntricos separados pelo vácuo. A superfície esférica interna possui raio de
e a capacitância é igual a 99 pF . (a) Qual é o raio da superfície esférica externa? (b) Se a diferença de potencial entre as esferas for igual a 187 V , qual será o módulo de carga de cada esfera?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente.
-
Perguntas:
- (a) Qual é o raio da superfície esférica externa?
- (b) Se a diferença de potencial entre as esferas for igual a
, qual será o módulo da carga de cada esfera?
-
Dados fornecidos:
(raio da superfície interna)
(capacitância do capacitor esférico)
(diferença de potencial entre as esferas) -
Incógnitas:
= raio da superfície externa (em metros ou centímetros)
= módulo da carga em cada esfera (em coulombs ou nanocoulombs)
Passo 2
Conceito fundamental: capacitância.
- A capacitância
de um capacitor é definida como a razão entre a carga em um dos condutores e a diferença de potencial entre os condutores:
- Unidade:
.
Isto significa que, se soubermos como a diferença de potencial depende dee das dimensões geométricas, podemos relacionar com essas dimensões e, a partir daí, encontrar a incógnita desejada.
Passo 3
Campo elétrico entre esferas concêntricas e diferença de potencial.
- Para
(região entre as esferas), o campo elétrico produzido por uma carga na esfera interna é o mesmo de uma carga puntiforme centrada:
onde
é a permissividade do vácuo. Explicando: a lei de Gauss nos diz que a carga total envolvida por uma superfície esférica ocasiona um campo radial que depende apenas de
, com a forma
; aqui usamos
.
- A diferença de potencial entre as esferas (potencial da esfera interna menos potencial da externa) é dada por integrar o campo:
Como
é radial e positivo no sentido de afastar carga positiva, tomando a diferença de potencial
entre as superfícies obtemos (fazendo a integral):
Detalhe da integral:
.
Passo 4
Expressão da capacitância do capacitor esférico.
- Usando
e a expressão de , temos:
- Podemos manipular essa fração para uma forma equivalente mais útil:
Esta fórmula relaciona diretamente
com os raios
e
. Agora usaremos essa relação para encontrar
.
Passo 5
Isolando
na fórmula da capacitância.
- Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo à esquerda:
Colocando os termos com
juntos:
Fatorando
:
Logo:
Passo 6
Cálculo numérico de
.
- Vou usar o valor prático da permissividade do vácuo:
(pode arredondar para , mas aqui uso a forma mais precisa). - Primeiro calculemos
:
- Em seguida
com :
- O valor de
é . Agora a parte numérica:
- Finalmente:
Convertendo para centímetros:
Podemos apresentar com três algarismos significativos como
.
Passo 7
Cálculo da carga (parte b).
- Uma vez conhecida a capacitância, o módulo da carga em cada esfera quando há diferença de potencial
é simplesmente
- Substituindo
e :
-
Em unidades mais convencionais:
. Aproximando para três dígitos significativos: . -
Observação física importante: as duas esferas têm cargas de mesmo módulo e sinais opostos, ou seja,
na interna e na externa (ou vice-versa), mas o enunciado pediu o módulo, então devolvemos .
Resposta
(a)
(aproximadamente
).
(b) (aprox.
).
(b)