Um capacitor esférico é formado por dois condutores esféricos concêntricos separados pelo vácuo. A superfície esférica interna possui raio de 12,5 \mathrm{~cm} e a capacitância é igual a 99 pF . (a) Qual é o raio da superfície esférica externa? (b) Se a diferença de potencial entre as esferas for igual a 187 V , qual será o módulo de carga de cada esfera?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente.
  • Perguntas:
    1. (a) Qual é o raio da superfície esférica externa?
    2. (b) Se a diferença de potencial entre as esferas for igual a 187\\ \text{V}, qual será o módulo da carga de cada esfera?
  • Dados fornecidos:
    \;a=12{,}5\\ \text{cm}=0{,}125\\ \text{m} (raio da superfície interna)
    \;C=99\\ \text{pF}=99\times10^{-12}\\ \text{F} (capacitância do capacitor esférico)
    \;V=187\\ \text{V} (diferença de potencial entre as esferas)
  • Incógnitas:
    \;b = raio da superfície externa (em metros ou centímetros)
    \;|Q| = módulo da carga em cada esfera (em coulombs ou nanocoulombs)

Passo 2

Conceito fundamental: capacitância.
  • A capacitância C de um capacitor é definida como a razão entre a carga |Q| em um dos condutores e a diferença de potencial \Delta V entre os condutores:
C=\frac{|Q|}{\Delta V}.
  • Unidade: 1\\ \text{F}=\text{C}/\text{V}.
    Isto significa que, se soubermos como a diferença de potencial depende de Q e das dimensões geométricas, podemos relacionar C com essas dimensões e, a partir daí, encontrar a incógnita desejada.

Passo 3

Campo elétrico entre esferas concêntricas e diferença de potencial.
  • Para a<r<b (região entre as esferas), o campo elétrico produzido por uma carga Q na esfera interna é o mesmo de uma carga puntiforme centrada:
E(r)=\frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Explicando: a lei de Gauss nos diz que a carga total envolvida por uma superfície esférica ocasiona um campo radial que depende apenas de r, com a forma kQ/r^2; aqui usamos k=1/(4\pi\varepsilon_0).
  • A diferença de potencial entre as esferas (potencial da esfera interna menos potencial da externa) é dada por integrar o campo:
\Delta V = -\int_{a}^{b} E(r)\,dr.
Como E(r) é radial e positivo no sentido de afastar carga positiva, tomando a diferença de potencial \Delta V entre as superfícies obtemos (fazendo a integral):
\Delta V = \frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Detalhe da integral: \int_{a}^{b}\dfrac{1}{r^{2}}dr = \left[-\dfrac{1}{r}\right]_{a}^{b} = \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}.

Passo 4

Expressão da capacitância do capacitor esférico.
  • Usando C=|Q|/\Delta V e a expressão de \Delta V, temos:
C=\frac{|Q|}{\dfrac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)} = \frac{4\pi\varepsilon_0}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}.
  • Podemos manipular essa fração para uma forma equivalente mais útil:
C = 4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{\,b-a\,}.
Esta fórmula relaciona diretamente C com os raios a e b. Agora usaremos essa relação para encontrar b.

Passo 5

Isolando b na fórmula da capacitância.
  • Partimos de
C = 4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a}.
Multiplicando ambos os lados por (b-a):
C(b-a) = 4\pi\varepsilon_0 ab.
Expandindo à esquerda:
Cb - Ca = 4\pi\varepsilon_0 ab.
Colocando os termos com b juntos:
Cb - 4\pi\varepsilon_0 a\,b = Ca.
Fatorando b:
b\left(C - 4\pi\varepsilon_0 a\right) = Ca.
Logo:
b = \frac{C a}{C - 4\pi\varepsilon_0 a}.

Passo 6

Cálculo numérico de b.
  • Vou usar o valor prático da permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \text{F/m} (pode arredondar para 8{,}85\times10^{-12}, mas aqui uso a forma mais precisa).
  • Primeiro calculemos 4\pi\varepsilon_0:
4\pi\varepsilon_0 \approx 1{,}112650056\times10^{-10}\\ \text{F/m}.
  • Em seguida 4\pi\varepsilon_0 a com a=0{,}125\\ \text{m}:
4\pi\varepsilon_0 a \approx 1{,}39081257\times10^{-11}\\ \text{F}.
  • O valor de C é C=99\times10^{-12}\\ \text{F}=9{,}9\times10^{-11}\\ \text{F}. Agora a parte numérica:
C a = 9{,}9\times10^{-11}\times0{,}125 = 1{,}2375\times10^{-11}.
C - 4\pi\varepsilon_0 a = 9{,}9\times10^{-11} - 1{,}39081257\times10^{-11} \approx 8{,}50918743\times10^{-11}.
  • Finalmente:
b = \frac{1{,}2375\times10^{-11}}{8{,}50918743\times10^{-11}} \approx 0{,}14541\\ \text{m}.
Convertendo para centímetros:
b \approx 14{,}54\\ \text{cm}.
Podemos apresentar com três algarismos significativos como b\approx14{,}5\\ \text{cm}.

Passo 7

Cálculo da carga (parte b).
  • Uma vez conhecida a capacitância, o módulo da carga em cada esfera quando há diferença de potencial V é simplesmente
|Q| = C\,V.
  • Substituindo C=99\times10^{-12}\\ \text{F} e V=187\\ \text{V}:
|Q| = 99\times10^{-12}\times187 = 1{,}8513\times10^{-8}\\ \text{C}.
  • Em unidades mais convencionais: 1{,}8513\times10^{-8}\\ \text{C} = 18{,}513\\ \text{nC}. Aproximando para três dígitos significativos: |Q|\approx18{,}5\\ \text{nC}.
  • Observação física importante: as duas esferas têm cargas de mesmo módulo e sinais opostos, ou seja, +Q na interna e -Q na externa (ou vice-versa), mas o enunciado pediu o módulo, então devolvemos |Q|.

Resposta

(a) b\approx14{,}54\\ \text{cm} (aproximadamente 14{,}5\\ \text{cm}).
(b) |Q|\approx1{,}8513\times10^{-8}\\ \text{C} (aprox. 18{,}5\\ \text{nC}).

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