Um capacitor com uma diferença de potencial inicial de 100 V começa a se por meio de um resistor quando uma chave é fechada no instante t=0. No instante t=5 s, a diferença de potencial no capacitor é 1,00 V. Qual é a constante de tempo do circuito?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um capacitor carregado a 100,V que começa a descarregar por um resistor quando fechamos a chave em t=0. Depois de 5,s, a tensão no capacitor caiu para 1,00,V. A parada é de circuito RC em regime de descarga, e a gente vai usar a fórmula da descarga exponencial do capacitor
O que vamos precisar:
  • A fórmula da tensão durante a descarga: V(t)=V0,e^-t/τ
  • Manipular logaritmo natural pra isolar τ (a constante de tempo)

Passo 2

A teoria diz que, num circuito RC, a tensão no capacitor durante a descarga segue
V(t) ;=; V0 , e^-tfractτ,,
onde
  • V0 é a tensão inicial ( 100,V aqui),
  • τ=R,C é a constante de tempo,
  • t é o tempo desde que começou a descarga.

Passo 3

Agora é ir pro truque: em t=5,s a tensão V(t) vale 1,00,V. Substituindo na fórmula:
1,00 ;=; 100 ;e^-tfrac5τ,
Divide ambos os lados por 100:
1100 ;=; e^-tfrac5τ,

Passo 4

Pra achar τ, fazemos log natural:
ln!l(tfrac1100r) ;=; -5τ,
Como ln(1/100) = -ln(100), fica
-ln(100) = -5τ Longrightarrow tau = 5ln(100),
E sabendo que ln(100)=2ln(10)approx4,6052, temos
τ approx 54,6052approx1,085;s,

Resposta

A constante de tempo do circuito é aproximadamente τ approx 1,1,s.

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