Usando a transformação de Laplace, resolva a equação diferencial:
com as condições iniciais:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema que temos aqui é a equação
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais, transformar a equação original no domínio de Laplace, resolver para
, e depois aplicar a Transformada Inversa para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. A Transformada de Laplace de
é
, de
é
, e de
é simplesmente
. A transformada de
é
.
Passo 3
Substituindo as transformadas na equação, temos:
Isso porque
e
.
Passo 4
Vamos organizar os termos com
de um lado e os constantes do outro:
Simplificando:
Passo 5
Isolando
:
Primeiro precisamos simplificar o numerador.
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Passo 7
Vamos fatorar o denominador
:
Então agora:
Passo 8
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. A gente procura expressar
como:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, obtemos:
Passo 9
Para encontrar A, B e C, substituímos valores específicos de
que simplificam a equação:
-
:
-
:
-
:
Passo 10
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 11
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: