Usando a transformação de Laplace, resolva a equação diferencial:
ddotx-dotx-2 x=e^3 t
com as condições iniciais: x(0)=1 e x^prime(0)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O problema que temos aqui é a equação ddotx - dotx - 2x = e^3t com as condições iniciais x(0) = 1 e x'(0) = 2. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais, transformar a equação original no domínio de Laplace, resolver para X(s), e depois aplicar a Transformada Inversa para encontrar x(t).

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. A Transformada de Laplace de ddotx é s^2 X(s) - s x(0) - x'(0), de dotx é s X(s) - x(0), e de x é simplesmente X(s). A transformada de e^3t é 1s - 3.

Passo 3

Substituindo as transformadas na equação, temos:
s^2 X(s) - s cdot 1 - 2 = (s X(s) - 1) - 2 X(s) = 1s - 3
Isso porque x(0) = 1 e x'(0) = 2.

Passo 4

Vamos organizar os termos com X(s) de um lado e os constantes do outro:
s^2 X(s) - s - 2 - s X(s) + 1 + 2 X(s) = 1s - 3
Simplificando:
(s^2 - s - 2) X(s) - s + 1 = 1s - 3

Passo 5

Isolando X(s):
X(s) = 1s - 3 + s - 1 s^2 - s - 2
Primeiro precisamos simplificar o numerador.

Passo 6

Simplificando o numerador:
1s - 3 + s - 1 = 1 + (s - 1)(s - 3)s - 3 = 1 + s^2 - 4s + 3s - 3 = s^2 - 4s + 4s - 3
Então, temos:
X(s) = s^2 - 4s + 4(s - 3)(s^2 - s - 2)

Passo 7

Vamos fatorar o denominador s^2 - s - 2:
s^2 - s - 2 = (s - 2)(s + 1)
Então agora:
X(s) = s^2 - 4s + 4(s - 3)(s - 2)(s + 1)

Passo 8

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. A gente procura expressar X(s) como:
s^2 - 4s + 4(s - 3)(s - 2)(s + 1) = As - 3 + Bs - 2 + Cs + 1
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum (s - 3)(s - 2)(s + 1), obtemos:
s^2 - 4s + 4 = A(s - 2)(s + 1) + B(s - 3)(s + 1) + C(s - 3)(s - 2)

Passo 9

Para encontrar A, B e C, substituímos valores específicos de s que simplificam a equação:
  • s = 3:
3^2 - 4 cdot 3 + 4 = A(3 - 2)(3 + 1) Rightarrow 9 - 12 + 4 = A(1)(4) Rightarrow 1 = 4A Rightarrow A = 14
  • s = 2:
2^2 - 4 cdot 2 + 4 = B(2 - 3)(2 + 1) Rightarrow 4 - 8 + 4 = B(-1)(3) Rightarrow 0 = -3B Rightarrow B = 0
  • s = -1:
(-1)^2 - 4(-1) + 4 = C(-1 - 3)(-1 - 2) Rightarrow 1 + 4 + 4 = C(-4)(-3) Rightarrow 9 = 12C Rightarrow C = 34

Passo 10

Então, a decomposição em frações parciais fica:
X(s) = 14 cdot 1s - 3 + 0 cdot 1s - 2 + 34 cdot 1s + 1 = 14(s - 3) + 34(s + 1)

Passo 11

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar x(t):
x(t) = 14 e^3t + 34 e^-t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x(t) = 14 e^3t + 34 e^-t

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