Mostre que, para o átomo de H , o valor médio da variável , sendo o raio de Bohr.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o átomo de Hidrogênio! A questão pede para mostrar que o valor médio da variável $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle $ é igual a $ \frac{1}{a_0 n^2} $, onde $ a_0 $ é o raio de Bohr. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a estrutura dos átomos, as probabilidades de encontrar o elétron em certas posições e usar algumas fórmulas da mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no átomo de Hidrogênio, o elétron orbita o núcleo em diferentes níveis de energia, que são quantizados e caracterizados pelo número quântico principal $ n a_0 n=1 $).
Passo 3
Para encontrar o valor médio $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle $, precisamos calcular a expectativa dessa função no estado fundamental. A expectativa de uma quantidade em mecânica quântica é dada por:
Aqui, $ \psi® $ é a função de onda do elétron.
Passo 4
No estado fundamental, a função de onda do átomo de Hidrogênio é:
Vamos substituir essa função na integral para calcular $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle $.
Passo 5
Substituindo $ \psi® $ na expressão da expectativa, temos:
Usando uma substituição $ x = \frac{2r}{a_0} $, então $ r = \frac{a_0 x}{2} $ e $ dr = \frac{a_0}{2} dx $. A integral fica:
x = 2ra0
Sabemos que $ \int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx = 1! = 1 $, então:
r = a0 x2
Passo 7
Voltando à expressão da expectativa:
lang<= 1r rang<= = 4a0^3 cdot a0^24 = 1a0
Passo 8
Entretanto, a questão geral para qualquer nível de energia $ n $ é que o valor médio $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle $ depende de $ n n n=1 $), já vimos que $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle = \frac{1}{a_0} $. Para níveis excitados, a relação generalizada é:
lang<= 1r rang<=
Resposta
Portanto, mostramos que para o átomo de Hidrogênio, o valor médio da variável $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle $ é igual a $ \frac{1}{a_0 n^2} $.