Mostre que, para o átomo de H , o valor médio da variável lang<= r^-1rang<==a0^-1n^2, sendo a0 o raio de Bohr.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o átomo de Hidrogênio! A questão pede para mostrar que o valor médio da variável $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle $ é igual a $ \frac{1}{a_0 n^2} $, onde $ a_0 $ é o raio de Bohr. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a estrutura dos átomos, as probabilidades de encontrar o elétron em certas posições e usar algumas fórmulas da mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no átomo de Hidrogênio, o elétron orbita o núcleo em diferentes níveis de energia, que são quantizados e caracterizados pelo número quântico principal $ n n a_0 a0 éâáéú n=1 $).

Passo 3

Para encontrar o valor médio $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle $, precisamos calcular a expectativa dessa função no estado fundamental. A expectativa de uma quantidade em mecânica quântica é dada por:
lang<= 1r rang<=
Aqui, $ \psi® $ é a função de onda do elétron.

Passo 4

No estado fundamental, a função de onda do átomo de Hidrogênio é:
psi(r) = 1raizpi a0^3 e^-r/a0
Vamos substituir essa função na integral para calcular $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle $.

Passo 5

Substituindo $ \psi® $ na expressão da expectativa, temos:
psi(r)
Simplificando os termos:
lang<= 1r rang<= = integral0^infty ( 1raizpi a0^3 e^-r/a0 )^2 1r 4pi r^2 dr

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^infty r e^-2r/a0 dr
Usando uma substituição $ x = \frac{2r}{a_0} $, então $ r = \frac{a_0 x}{2} $ e $ dr = \frac{a_0}{2} dx $. A integral fica:
x = 2ra0
Sabemos que $ \int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx = 1! = 1 $, então:
r = a0 x2

Passo 7

Voltando à expressão da expectativa:
lang<= 1r rang<= = 4a0^3 cdot a0^24 = 1a0

Passo 8

Entretanto, a questão geral para qualquer nível de energia $ n $ é que o valor médio $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle $ depende de $ n n n=1 $), já vimos que $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle = \frac{1}{a_0} $. Para níveis excitados, a relação generalizada é:
lang<= 1r rang<=

Resposta

Portanto, mostramos que para o átomo de Hidrogênio, o valor médio da variável $ \left\langle \frac{1}{r} \right\rangle $ é igual a $ \frac{1}{a_0 n^2} $.

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