Um capacitor esférico é composto por duas esferas condutoras, uma interna com raio a e carga q>0 e outra externa de raio b e carga -q, centradas em \mathcal{O} e separadas por um material isolante. Indicando por Q_{a b} a região entre as esferas, o campo elétrico E(P) em um ponto P \in Q_{a b} tem intensidade diretamente proporcional à carga q e inversamente proporcional a \|P\|^{2}, com constante de proporcionalidade K. A direção e o sentido de E(P) é a do vetor unitário P /\|P\|. Nesse caso, uma questão interessante é saber como os raios a e b interferem na energia U_{a b} armazenada no capacitor, dada por
U_{a b}=\frac{\varepsilon}{2} \iiint_{Q_{a b}}\|E(x, y, z)\|^{2} d x d y d z,
a) Obtenha a expressão do campo E(P).
b) Descreva a região Q_{a b} em coordenadas esféricas.
c) Use os itens anteriores para calcular a energia U_{a b}.
d) \operatorname{Com} a=a_{0} fixo, a energia U_{a_{0} b} é uma função do raio b. Verifique que existe uma constante C tal que U_{a_{0} b}<C para todo b>a_{0}.
e) Com b=b_{0} fixo, a energia U_{a b_{0}} é uma função do raio a. Verifique que não existe constante C tal que U_{a b_{0}}<C para todo 0<a<b_{0}.

Passo 1

  • Dados do enunciado:
    • Duas esferas condutoras concêntricas centradas em \mathcal{O}: esfera interna de raio a com carga q>0 e esfera externa de raio b com carga -q.
    • Região entre as esferas denotada por Q_{a b}.
    • O campo elétrico em P\in Q_{a b} tem intensidade proporcional a q e inversamente proporcional a \|P\|^{2} com constante de proporcionalidade K. A direção e sentido são os do vetor unitário P/\|P\|.
    • Energia armazenada: U_{a b}=\frac{\varepsilon}{2} \iiint_{Q_{a b}}\|E(x,y,z)\|^{2}\,dx\,dy\,dz.
  • Perguntas a resolver:
    a) Obter a expressão do campo \,E(P)\,.
    b) Descrever Q_{a b} em coordenadas esféricas.
    c) Calcular U_{a b} usando (a) e (b).
    d) Com a=a_{0} fixo, mostrar que existe constante C tal que U_{a_{0} b}<C para todo b>a_{0}.
    e) Com b=b_{0} fixo, mostrar que não existe constante C tal que U_{a b_{0}}<C para todo 0<a<b_{0}.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente o campo usando as informações dadas. Seja r=\|P\| a distância do ponto P ao centro \mathcal{O}. O vetor unitário radial é
\hat{r}=\frac{P}{\|P\|}.
A intensidade do campo é K\frac{q}{r^{2}} e seu sentido é \hat{r}. Portanto a forma vetorial do campo é
\mathbf{E}(P)=K\frac{q}{r^{2}}\hat{r}.
Reescrevendo em termos do vetor posição P (componente cartesiana), como \hat{r}=P/r, temos também a forma
\mathbf{E}(P)=Kq\,\frac{P}{r^{3}}.
Aqui r=\|P\|, K é a constante dada e q a carga da esfera interna.

Passo 3

Descrever Q_{a b} em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas usamos (r,\theta,\varphi) com as convenções usuais:
  • r\ge 0 distância radial,
  • \theta\in[0,\pi] ângulo polar (desde o eixo z),
  • \varphi\in[0,2\pi) ângulo azimutal (no plano xy).
A região entre as esferas de raios a e b é simplesmente
Q_{a b}=\{(r,\theta,\varphi)\mid a<r<b,\;0\le\theta\le\pi,\;0\le\varphi<2\pi\}.

Passo 4

Calcular U_{a b}. Primeiro, a norma do campo é
\|\mathbf{E}(P)\|=\frac{Kq}{r^{2}}.
Logo o quadrado da norma é
\|\mathbf{E}(P)\|^{2}=\frac{K^{2}q^{2}}{r^{4}}.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Substituindo na expressão de U_{a b},
U_{a b}=\frac{\varepsilon}{2}\iiint_{Q_{a b}}\frac{K^{2}q^{2}}{r^{4}}\,r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Simplificando o integrando:
U_{a b}=\frac{\varepsilon}{2}K^{2}q^{2}\iiint_{Q_{a b}}\frac{\sin\theta}{r^{2}}\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Agora separamos as integrais (as variáveis são independentes nos limites):
U_{a b}=\frac{\varepsilon}{2}K^{2}q^{2}\left(\int_{r=a}^{b}\frac{1}{r^{2}}\,dr\right)\left(\int_{\theta=0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\right).
Calculamos cada integral:
  • Integral radial: \int_{a}^{b}\frac{1}{r^{2}}\,dr=\left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}.
  • Integral em \theta: \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=2.
  • Integral em \varphi: \int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi.
Multiplicando:
U_{a b}=\frac{\varepsilon}{2}K^{2}q^{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\cdot 2\cdot 2\pi.
Simplificando os fatores 2:
U_{a b}=2\pi\varepsilon K^{2}q^{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Essa é a expressão fechada da energia armazenada entre as esferas.
Observação física (opcional para compreensão): se tomarmos o caso físico usual K=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} e \varepsilon=\varepsilon_{0} (vácuo), substituindo obtemos a forma conhecida
U_{a b}=\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right),
o que coincide com U=\dfrac{q^{2}}{2C} usando a capacitância do capacitor esférico concentricamente C=4\pi\varepsilon_{0}\dfrac{ab}{b-a}.

Passo 5

Parte (d): com a=a_{0} fixo e b>a_{0} variável.
A expressão encontrada é
U_{a_{0} b}=2\pi\varepsilon K^{2}q^{2}\left(\frac{1}{a_{0}}-\frac{1}{b}\right).
Como \dfrac{1}{b}>0, temos
U_{a_{0} b}<2\pi\varepsilon K^{2}q^{2}\cdot\frac{1}{a_{0}}.
Portanto basta definir a constante
C:=2\pi\varepsilon K^{2}q^{2}\frac{1}{a_{0}}
para ter U_{a_{0} b}<C para todo b>a_{0}. Concluímos que a energia é limitada superiormente quando a é fixo.

Passo 6

Parte (e): com b=b_{0} fixo e a\in(0,b_{0}) variável.
A expressão é
U_{a b_{0}}=2\pi\varepsilon K^{2}q^{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b_{0}}\right).
Ao fazer a\to 0^{+} o termo \dfrac{1}{a} diverge para +\infty, logo U_{a b_{0}}\to+\infty. Assim não existe constante finita C que sirva de limite superior para todos 0<a<b_{0}. Concluímos que, ao aproximar a esfera interna do centro (diminuir a até 0), a energia diverge.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{E}(P)=K\frac{q}{\|P\|^{2}}\frac{P}{\|P\|}=Kq\,\frac{P}{\|P\|^{3}}.\n
b) \displaystyle Q_{a b}=\{(r,\theta,\varphi)\mid a<r<b,\;0\le\theta\le\pi,\;0\le\varphi<2\pi\}.\n
c) \displaystyle U_{a b}=2\pi\varepsilon K^{2}q^{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).\n
d) Com a=a_{0} fixo, pode-se tomar \displaystyle C=2\pi\varepsilon K^{2}q^{2}\frac{1}{a_{0}}, logo U_{a_{0} b}<C para todo b>a_{0}.\n
e) Com b=b_{0} fixo, \displaystyle U_{a b_{0}}=2\pi\varepsilon K^{2}q^{2}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b_{0}}\right) diverge quando a\to0^{+}, portanto não existe constante C que limite U_{a b_{0}} para todo 0<a<b_{0}.

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