Expresse g^{\prime}(\dot{t}) em termos de derivadas parciais de f, sendo g dada por:
2 t \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\left(t^{2}, 2 t\right)+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\left(t^{2}, 2 t\right)+5\left[3 \cos 3 t \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(\operatorname{sen} 3 t, t)+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(\operatorname{sen} 3 t, t)\right]

Passo 1

O enunciado dá a função g e pede para encontrar g'(t). Especificamente, temos
g(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t^{2},2t\bigr)+5\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(\sin 3t,t\bigr),
e a tarefa é calcular a derivada g'(t) em termos das derivadas parciais de f. As informações relevantes são:
\begin{aligned} &\text{primeiro termo: }F_1(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\quad \text{avaliado em }(x,y)=(t^2,2t);\\\ &\text{segundo termo: }F_2(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x,y),\quad \text{avaliado em }(x,y)=(\sin 3t,t);\\\ &\text{precisamos aplicar a regra da cadeia para funções de duas variáveis.} \end{aligned}çõá

Passo 2

Vamos lembrar (e explicar) a regra da cadeia para composição de uma função de duas variáveis por uma curva unidimensional. Se H(x,y) é uma função diferenciável de (x,y) e x=x(t),\,y=y(t) são funções diferenciáveis, então a derivada de h(t):=H(x(t),y(t)) é
h'(t)=\frac{\partial H}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t)+\frac{\partial H}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).
Aqui \frac{\partial H}{\partial x} e \frac{\partial H}{\partial y} são as derivadas parciais de H em relação a x e y. É exatamente essa fórmula que vamos aplicar duas vezes: uma para H=F_1=f_x e outra para H=F_2=f_y. Importante: f_x e f_y são elas próprias funções de (x,y).

Passo 3

Primeiro termo: T_1(t)=\dfrac{\partial f}{\partial x}\bigl(t^{2},2t\bigr).
Defina u(t)=t^{2} e v(t)=2t. Então u'(t)=2t e v'(t)=2.
Aplicando a regra da cadeia com H=f_x, obtemos
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t^{2},2t\bigr)\right) =\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial f}{\partial x}\biggr)\!\bigl(t^{2},2t\bigr)\cdot u'(t) +\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial f}{\partial x}\biggr)\!\bigl(t^{2},2t\bigr)\cdot v'(t).
Agora escrevemos as segundas derivadas parciais de f com notação usual:
\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial f}{\partial x}\biggr)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial f}{\partial x}\biggr)=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.
Substituindo u'(t)=2t e v'(t)=2, fica
\frac{d}{dt}T_1(t)=2t\,\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\bigl(t^{2},2t\bigr) +2\,\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}\bigl(t^{2},2t\bigr).

Passo 4

Segundo termo: T_2(t)=5\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(\sin 3t,t\bigr).
Temos um fator constante 5 que sai da derivada, então primeiro fazemos a derivada de F(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) composta com x=\sin 3t e y=t.
Defina p(t)=\sin 3t e q(t)=t. Então p'(t)=3\cos 3t e q'(t)=1.
Aplicando a regra da cadeia com H=f_y,
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(\sin 3t,t\bigr)\right) =\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial f}{\partial y}\biggr)\!\bigl(\sin 3t,t\bigr)\cdot p'(t) +\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial f}{\partial y}\biggr)\!\bigl(\sin 3t,t\bigr)\cdot q'(t).
Escrevendo em termos das segundas derivadas de f:
\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial f}{\partial y}\biggr)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial f}{\partial y}\biggr)=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Substituindo p'(t)=3\cos 3t e q'(t)=1, obtemos
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(\sin 3t,t\bigr)\right) =3\cos 3t\;\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\bigl(\sin 3t,t\bigr) +\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\bigl(\sin 3t,t\bigr).
Multiplicando pelo fator 5,
\frac{d}{dt}T_2(t)=5\Bigl[3\cos 3t\;\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\bigl(\sin 3t,t\bigr) +\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\bigl(\sin 3t,t\bigr)\Bigr].

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos T_1 e T_2 obtemos g'(t). Opcionalmente, se f for C^{2} (duas vezes continuamente diferenciável), podemos usar a igualdade das derivadas mistas \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, mas não é necessário para escrever o resultado em termos das segundas derivadas. Somando as expressões dos passos anteriores:
\begin{aligned} g'(t)=&\;2t\,\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\bigl(t^{2},2t\bigr) +2\,\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}\bigl(t^{2},2t\bigr)\\\ &\;+5\Bigl[3\cos 3t\;\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\bigl(\sin 3t,t\bigr) +\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\bigl(\sin 3t,t\bigr)\Bigr]. \end{aligned}

Resposta

g'(t)=2t\,\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\bigl(t^{2},2t\bigr) +2\,\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}\bigl(t^{2},2t\bigr) +5\Bigl[3\cos 3t\;\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\bigl(\sin 3t,t\bigr) +\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\bigl(\sin 3t,t\bigr)\Bigr].

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