Expresse
em termos de derivadas parciais de
, sendo
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
. Especificamente, temos
e a tarefa é calcular a derivada
em termos das derivadas parciais de
. As informações relevantes são:
Passo 2
Vamos lembrar (e explicar) a regra da cadeia para composição de uma função de duas variáveis por uma curva unidimensional. Se
é uma função diferenciável de
e
são funções diferenciáveis, então a derivada de
é
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. É exatamente essa fórmula que vamos aplicar duas vezes: uma para
e outra para
. Importante:
e
são elas próprias funções de
.
Passo 3
Primeiro termo:
.
Defina e
. Então
e
.
Aplicando a regra da cadeia com , obtemos
Defina
Aplicando a regra da cadeia com
Agora escrevemos as segundas derivadas parciais de
com notação usual:
Substituindo
e
, fica
Passo 4
Segundo termo:
.
Temos um fator constante que sai da derivada, então primeiro fazemos a derivada de
composta com
e
.
Defina e
. Então
e
.
Aplicando a regra da cadeia com ,
Temos um fator constante
Defina
Aplicando a regra da cadeia com
Escrevendo em termos das segundas derivadas de
:
Substituindo
e
, obtemos
Multiplicando pelo fator
,
Passo 5
Somando as derivadas dos dois termos
e
obtemos
. Opcionalmente, se
for
(duas vezes continuamente diferenciável), podemos usar a igualdade das derivadas mistas
, mas não é necessário para escrever o resultado em termos das segundas derivadas. Somando as expressões dos passos anteriores: