Expresse g^{\prime}(\dot{t}) em termos de derivadas parciais de f, sendo g dada por:
3 t^{2} \frac{\partial f}{\partial x}(3 t, 2 t)+t^{3}\left[3 \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(3 t, 2 t)+2 \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(3 t, 2 t)\right]

Passo 1

O que o enunciado pede: expressar g'(t) em termos de derivadas parciais de f.
Informações dadas:
g(t)=3 t^{2}\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t)+t^{3}\Bigl[3\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(3t,2t)+2\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(3t,2t)\Bigr].
Aqui \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} são avaliações de derivadas parciais de f nos pontos (x,y)=(3t,2t). O objetivo é derivar essa expressão em relação a t e escrever o resultado usando derivadas parciais de f (podendo aparecer derivadas de ordem superior, quando necessário).

Passo 2

Ferramentas necessárias (explicadas de forma direta):
  • Regra do produto: se u(t)v(t), então \dfrac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  • Regra da cadeia para funções compostas: se H(t)=F(x(t),y(t)), então
H'(t)=x'(t)\frac{\partial F}{\partial x}(x(t),y(t))+y'(t)\frac{\partial F}{\partial y}(x(t),y(t)).
Explicando as letras: x(t) e y(t) são as curvas que fornecem os argumentos de F; \frac{\partial F}{\partial x} e \frac{\partial F}{\partial y} são as derivadas parciais de F avaliadas no ponto (x(t),y(t)). Aqui vamos aplicar isso tomando x(t)=3t e y(t)=2t, então x'(t)=3 e y'(t)=2.
Aplicação imediata: para H(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t) (a derivada parcial de f em x, avaliada em (3t,2t)), temos
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t)\right)=3\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(3t,2t)+2\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(3t,2t).
Isto segue porque tratamos \frac{\partial f}{\partial x} como a função F do enunciado e aplicamos a regra da cadeia (as segundas derivadas aparecem como \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} e \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x})=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}).

Passo 3

Derivando o primeiro termo de g(t):
u(t)=3t^{2},\qquad v(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t).
Pela regra do produto,
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t)\bigr)=6t\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t)+3t^{2}\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t)\right).
Usando o resultado do passo anterior para a derivada interna,
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t)\bigr)=6t\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t)+3t^{2}\Bigl(3\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(3t,2t)+2\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(3t,2t)\Bigr).

Passo 4

Preparando a derivação do segundo termo de g(t). Defina
B(t)=3\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(3t,2t)+2\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(3t,2t),
então o segundo termo é t^{3}B(t). Pela regra do produto,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}B(t)\bigr)=3t^{2}B(t)+t^{3}B'(t).
Precisamos de B'(t). Aplicando a regra da cadeia a cada parcela de B(t):
Para \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(3t,2t),
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(3t,2t)\right)=3\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}}(3t,2t)+2\frac{\partial^{3} f}{\partial y\partial x^{2}}(3t,2t).
Para \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(3t,2t),
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(3t,2t)\right)=3\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}(3t,2t)+2\frac{\partial^{3} f}{\partial y^{2}\partial x}(3t,2t).
Logo, somando com os pesos 3 e 2 de B(t),
\begin{aligned} B'(t)&=3\Bigl(3\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}}+2\frac{\partial^{3} f}{\partial y\partial x^{2}}\Bigr)(3t,2t) \\\ &\qquad +2\Bigl(3\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}+2\frac{\partial^{3} f}{\partial y^{2}\partial x}\Bigr)(3t,2t). \end{aligned}
Multiplicando os fatores:
B'(t)=\Bigl(9\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}}+6\frac{\partial^{3} f}{\partial y\partial x^{2}}+6\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}+4\frac{\partial^{3} f}{\partial y^{2}\partial x}\Bigr)(3t,2t).
Se f for suficientemente regular (por exemplo C^{3}), as derivadas mistas podem ser permutadas, o que permite identificar \frac{\partial^{3} f}{\partial y\partial x^{2}}=\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y} e \frac{\partial^{3} f}{\partial y^{2}\partial x}=\frac{\partial^{3} f}{\partial x\partial y^{2}}. Usando isso, uma forma simplificada de B'(t) é
B'(t)=\Bigl(9\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}}+12\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}+4\frac{\partial^{3} f}{\partial x\partial y^{2}}\Bigr)(3t,2t).

Passo 5

Agora escrevemos a derivada do segundo termo completamente:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}B(t)\bigr)=3t^{2}B(t)+t^{3}B'(t).
Substituindo B(t) e B'(t) (na forma simplificada assumindo permutabilidade das mistas),
\begin{aligned} \frac{d}{dt}\bigl(t^{3}B(t)\bigr) &=3t^{2}\Bigl(3\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+2\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}\Bigr)(3t,2t)\\\ &\quad +t^{3}\Bigl(9\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}}+12\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}+4\frac{\partial^{3} f}{\partial x\partial y^{2}}\Bigr)(3t,2t). \end{aligned}

Passo 6

Somando a derivada do primeiro termo (Passo 3) com a derivada do segundo termo (Passo 5) e coletando termos semelhantes:
Do Passo 3: 6t\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t)+3t^{2}\bigl(3f_{xx}+2f_{yx}\bigr).
Do Passo 5: 3t^{2}\bigl(3f_{xx}+2f_{yx}\bigr)+t^{3}\bigl(9f_{xxx}+12f_{xxy}+4f_{xyy}\bigr) (todas as derivadas avaliadas em (3t,2t); aqui usei a notação curta f_{xx}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, f_{xxy}=\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}, etc., mas na resposta final voltarei à notação explícita).
Os dois termos 3t^{2}(3f_{xx}+2f_{yx}) somam, dando 6t^{2}(3f_{xx}+2f_{yx}) ou, ao multiplicar,
18t^{2}f_{xx}(3t,2t)+12t^{2}f_{yx}(3t,2t).
Portanto, juntando tudo e retornando à notação explícita de derivadas parciais, obtemos a expressão final abaixo.

Resposta

\begin{aligned} g'(t)&=6t\frac{\partial f}{\partial x}(3t,2t)+18t^{2}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(3t,2t)+12t^{2}\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(3t,2t)\\\ &\quad +t^{3}\Bigl(9\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{3}}(3t,2t)+12\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2}\partial y}(3t,2t)+4\frac{\partial^{3} f}{\partial x\partial y^{2}}(3t,2t)\Bigr). \end{aligned}

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