Expresse
em termos de derivadas parciais de
, sendo
dada por:
Passo 1
O que o enunciado pede: expressar
em termos de derivadas parciais de
.
Informações dadas:
Aqui
,
e
são avaliações de derivadas parciais de
nos pontos
. O objetivo é derivar essa expressão em relação a
e escrever o resultado usando derivadas parciais de
(podendo aparecer derivadas de ordem superior, quando necessário).
Passo 2
Ferramentas necessárias (explicadas de forma direta):
- Regra do produto: se
, então . - Regra da cadeia para funções compostas: se
, então
Explicando as letras:
e
são as curvas que fornecem os argumentos de
;
e
são as derivadas parciais de
avaliadas no ponto
. Aqui vamos aplicar isso tomando
e
, então
e
.
Aplicação imediata: para
(a derivada parcial de
em
, avaliada em
), temos
Isto segue porque tratamos
como a função
do enunciado e aplicamos a regra da cadeia (as segundas derivadas aparecem como
e
).
Passo 3
Derivando o primeiro termo de
:
Pela regra do produto,
Usando o resultado do passo anterior para a derivada interna,
Passo 4
Preparando a derivação do segundo termo de
. Defina
então o segundo termo é
. Pela regra do produto,
Precisamos de
. Aplicando a regra da cadeia a cada parcela de
:
Para
,
Para
,
Logo, somando com os pesos
e
de
,
Multiplicando os fatores:
Se
for suficientemente regular (por exemplo
), as derivadas mistas podem ser permutadas, o que permite identificar
e
. Usando isso, uma forma simplificada de
é
Passo 5
Agora escrevemos a derivada do segundo termo completamente:
Substituindo
e
(na forma simplificada assumindo permutabilidade das mistas),
Passo 6
Somando a derivada do primeiro termo (Passo 3) com a derivada do segundo termo (Passo 5) e coletando termos semelhantes:
Do Passo 3:
.
Do Passo 5:
(todas as derivadas avaliadas em
; aqui usei a notação curta
,
, etc., mas na resposta final voltarei à notação explícita).
Os dois termos
somam, dando
ou, ao multiplicar,
Portanto, juntando tudo e retornando à notação explícita de derivadas parciais, obtemos a expressão final abaixo.