Um capacitor esférico é construído com duas esferas concêntricas, a menor de raio a e a maior de raio b.
Considere que um dielétrico, de constante dielétrica K e colocado entre as duas esferas. Determine a carga induzida no dielétrico próxima a esfera interna em termos da carga Q na esfera interna e da constante dielétrica.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é um capacitor esférico com duas cascas concêntricas: raio interno e externo . Entre elas tem um dielétrico de constante . A esfera interna tá com carga livre . O que a gente quer é descobrir quanta carga ligada (ou seja, induzida) aparece na superfície do dielétrico bem em volta da esfera interna.
Matéria que vamos usar: eletrostática em dielétrico, ou seja, Lei de Gauss para o vetor , a relação e a fórmula da carga ligada de superfície .

Passo 2

Primeiro, a gente calcula o campo D(r),4pi r^2 = Q Longrightarrow D(r)=Q4pi r^2,hat r na região do dielétrico (entre E(r) = D(r)varepsilon0 K =Q4pi varepsilon0,K,r^2,hat r e ).
  1. Pela Lei de Gauss em dielétricos:
    .
    Como é simétrico, e a superfície gaussiana é uma esfera de raio , então
  1. Sabendo que no dielétrico , vem

Passo 3

Agora achamos a polarização P = varepsilon0,(K-1), E =varepsilon0,(K-1),Q4pivarepsilon0,K,r^2,hat r =K-14pi K,Qr^2,hat r e a carga ligada na superfície interna ( sigmab(a) = P(a)cdot(-hat r) =-K-14pi K,Qa^2 ).
  1. A polarização em um material linear é
  1. A carga ligada de superfície é
    ,
    onde é o vetor normal para fora da região do dielétrico. Na superfície em , esse aponta para dentro (isto é, ). Logo:

Passo 4

Basta multiplicar pela área da esfera de raio Qb,interna =sigmab(a)times 4pi a^2 =-K-14pi K,Qa^2;times4pi a^2 =-K-1K,Q para ter a carga total ligada ali:

Resposta

A carga induzida no dielétrico, junto à superfície da esfera interna, é
boxedQinduzida=-K-1K,Q

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