P1 (2017.2) Considere uma esfera maciça de raio a condutora. A esfera apresenta uma densidade superficial de carga sigma. Determine:
Se uma partícula de carga q e massa m é solta num ponto P que dista inicialmente d do centro da esfera ( d>a ), determine a velocidade para r infty.

Passo 1

Vamos resolver um problema de física envolvendo eletrostática e movimento de partículas. Temos uma esfera condutora com raio $ a $ e densidade superficial de carga $ \sigma $. Uma partícula com carga $ q $ e massa $ m $ é solta de um ponto $ P $ que está a uma distância $ d $ do centro da esfera, onde $ d > a $. Nosso objetivo é encontrar a velocidade da partícula quando ela estiver muito longe da esfera, ou seja, quando $ r \rightarrow \infty $. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial elétrica e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a carga total $ Q $ presente na esfera. Como a densidade superficial de carga é $ \sigma $ e a área de uma esfera é $ 4\pi a^2 $, a carga total é dada por:
Q

Passo 3

Em seguida, calculamos o potencial elétrico $ V $ gerado pela esfera em um ponto a uma distância $ d $ do centro, onde $ d > a $. Para uma esfera condutora, o potencial fora da esfera é o mesmo que o de uma carga pontual. Assim, temos:
V
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Agora, aplicamos a conservação de energia. No ponto de partida $ P $, a partícula tem energia potencial elétrica devido ao potencial $ V(d) $ e energia cinética zero (já que foi solta). Quando $ r \rightarrow \infty $, a energia potencial elétrica se anula e toda a energia é cinética. Então:
P
Substituindo $ V(d) $:
V(d)

Passo 5

Resolvendo para $ v $, a velocidade da partícula quando $ r \rightarrow \infty $:
v

Resposta

A velocidade da partícula quando $ r \rightarrow \infty $ é:
r infty

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