P1 (2017.2) Considere uma esfera maciça de raio a condutora. A esfera apresenta uma densidade superficial de carga
. Determine:
Se uma partícula de carga
e massa
é solta num ponto
que dista inicialmente
do centro da esfera (
), determine a velocidade para
.
Se uma partícula de carga
Passo 1
Vamos resolver um problema de física envolvendo eletrostática e movimento de partículas. Temos uma esfera condutora com raio $ a $ e densidade superficial de carga $ \sigma $. Uma partícula com carga $ q $ e massa $ m $ é solta de um ponto $ P $ que está a uma distância $ d $ do centro da esfera, onde $ d > a $. Nosso objetivo é encontrar a velocidade da partícula quando ela estiver muito longe da esfera, ou seja, quando $ r \rightarrow \infty $. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial elétrica e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a carga total $ Q $ presente na esfera. Como a densidade superficial de carga é $ \sigma $ e a área de uma esfera é $ 4\pi a^2 $, a carga total é dada por:
Passo 3
Em seguida, calculamos o potencial elétrico $ V $ gerado pela esfera em um ponto a uma distância $ d $ do centro, onde $ d > a $. Para uma esfera condutora, o potencial fora da esfera é o mesmo que o de uma carga pontual. Assim, temos:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Agora, aplicamos a conservação de energia. No ponto de partida $ P $, a partícula tem energia potencial elétrica devido ao potencial $ V(d) $ e energia cinética zero (já que foi solta). Quando $ r \rightarrow \infty $, a energia potencial elétrica se anula e toda a energia é cinética. Então:
Substituindo $ V(d) $:
Passo 5
Resolvendo para $ v $, a velocidade da partícula quando $ r \rightarrow \infty $:
Resposta
A velocidade da partícula quando $ r \rightarrow \infty $ é: