P1 (2017.2) Considere uma esfera maciça de raio a condutora. A esfera apresenta uma densidade superficial de carga
. Determine:
(a) O potencial elétrico para todo o espaço (
e
). (É adequado considerar o potencial no infinito igual a zero?);
(a) O potencial elétrico para todo o espaço (
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma esfera condutora com raio a e densidade superficial de carga σ. O que precisamos encontrar é o potencial elétrico V em qualquer ponto do espaço, ou seja, tanto dentro da esfera (d ≤ a) quanto fora dela (d > a). Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, como campo elétrico e potencial elétrico, e lembrar que é comum considerar o potencial no infinito igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para uma esfera condutora com carga distribuída uniformemente na superfície, o campo elétrico dentro da esfera (d ≤ a) é zero. Isso acontece porque as cargas se distribuem na superfície, e o campo gerado por elas cancela-se no interior.
Passo 3
Para calcular o potencial dentro da esfera (d ≤ a), lembramos que o potencial é constante dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático. Como o campo elétrico é zero, não há variação de potencial dentro da esfera. Portanto, o potencial dentro é igual ao potencial na superfície.
Passo 4
Agora, vamos calcular o potencial na superfície da esfera. O potencial V em um ponto na superfície é dado por:
Onde Q é a carga total na esfera e ε₀ é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Para encontrar Q, usamos a densidade superficial de carga σ e a área da esfera 4πa²:
Passo 6
Substituindo Q na expressão do potencial, temos:
Simplificando:
Então, dentro da esfera (d ≤ a), o potencial é constante e igual a σa/ε₀.
Passo 7
Agora, para pontos fora da esfera (d > a), o campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual Q no centro da esfera. O potencial nesse caso é dado por:
Substituindo Q = \sigma \cdot 4\pi a^2:
Simplificando:
Resposta
Então, o potencial elétrico V para todo o espaço é:
E sim, é adequado considerar o potencial no infinito igual a zero nesse contexto.