P1 (2017.2) Considere uma esfera maciça de raio a condutora. A esfera apresenta uma densidade superficial de carga sigma. Determine:
(a) O potencial elétrico para todo o espaço ( d <= a e d>a ). (É adequado considerar o potencial no infinito igual a zero?);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma esfera condutora com raio a e densidade superficial de carga σ. O que precisamos encontrar é o potencial elétrico V em qualquer ponto do espaço, ou seja, tanto dentro da esfera (d ≤ a) quanto fora dela (d > a). Para isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, como campo elétrico e potencial elétrico, e lembrar que é comum considerar o potencial no infinito igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para uma esfera condutora com carga distribuída uniformemente na superfície, o campo elétrico dentro da esfera (d ≤ a) é zero. Isso acontece porque as cargas se distribuem na superfície, e o campo gerado por elas cancela-se no interior.

Passo 3

Para calcular o potencial dentro da esfera (d ≤ a), lembramos que o potencial é constante dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático. Como o campo elétrico é zero, não há variação de potencial dentro da esfera. Portanto, o potencial dentro é igual ao potencial na superfície.

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial na superfície da esfera. O potencial V em um ponto na superfície é dado por:
V = 14pivarepsilon0 cdot Qa
Onde Q é a carga total na esfera e ε₀ é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Para encontrar Q, usamos a densidade superficial de carga σ e a área da esfera 4πa²:
Q = sigma cdot 4pi a^2

Passo 6

Substituindo Q na expressão do potencial, temos:
V = 14pivarepsilon0 cdot sigma cdot 4pi a^2a
Simplificando:
V = sigma avarepsilon0
Então, dentro da esfera (d ≤ a), o potencial é constante e igual a σa/ε₀.

Passo 7

Agora, para pontos fora da esfera (d > a), o campo elétrico se comporta como o de uma carga pontual Q no centro da esfera. O potencial nesse caso é dado por:
V = 14pivarepsilon0 cdot Qd
Substituindo Q = \sigma \cdot 4\pi a^2:
V = 14pivarepsilon0 cdot sigma cdot 4pi a^2d
Simplificando:
V = sigma a^2varepsilon0 d

Resposta

Então, o potencial elétrico V para todo o espaço é:
V = sigma avarepsilon0 & para d <= a sigma a^2varepsilon0 d & para d > a
E sim, é adequado considerar o potencial no infinito igual a zero nesse contexto.

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