P1 (2018.2) Uma carga elétrica
é distribuída ao longo de uma barra fina de comprimento a disposta ao longo do eixo
. Determine:
Se uma carga de massa
e carga
é solta a partir de uma distância
da barra, determine sua velocidade no infinito.
Se uma carga de massa
Passo 1
Beleza, a questão diz o seguinte: a gente tem uma barra fininha, de comprimento
, alinhada no eixo
, com carga total
distribuída uniformemente. Aí soltam uma partícula de massa
e carga
a partir de uma distância
da barra e querem saber qual vai ser a velocidade dela lá no infinito.
Matéria: eletrostática e conservação de energia.
O que vamos precisar:
Matéria: eletrostática e conservação de energia.
O que vamos precisar:
- Expressão do potencial elétrico criado por uma barra com carga distribuída.
- Princípio de conservação da energia (convertendo energia potencial elétrica em cinética).
- Fazer uma integral para achar a energia potencial inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a densidade linear de carga da barra, que é
Cada pedacinho de barra de tamanho
carrega uma carga
.
Passo 3
Agora, calculamos a energia potencial elétrica da partícula quando ela está a distância mínima
da barra. A distância de um elemento
(posicionado em
de 0 a
) até a partícula (que está em
) é
A contribuição de
para o potencial em
é
onde
.
Passo 4
Integramos
de 0 até
:
Então a energia potencial elétrica da carga
é
Passo 5
Como ela parte do repouso e vai para o infinito, a energia potencial elétrica vira toda energia cinética. Ou seja:
Resposta
Isolando
, a velocidade no infinito é