P1 (2018.2) Uma carga elétrica Q é distribuída ao longo de uma barra fina de comprimento a disposta ao longo do eixo x. Determine:
Se uma carga de massa m e carga q0 é solta a partir de uma distância b da barra, determine sua velocidade no infinito.

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: a gente tem uma barra fininha, de comprimento , alinhada no eixo , com carga total distribuída uniformemente. Aí soltam uma partícula de massa e carga a partir de uma distância da barra e querem saber qual vai ser a velocidade dela lá no infinito.
Matéria: eletrostática e conservação de energia.
O que vamos precisar:
  • Expressão do potencial elétrico criado por uma barra com carga distribuída.
  • Princípio de conservação da energia (convertendo energia potencial elétrica em cinética).
  • Fazer uma integral para achar a energia potencial inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a densidade linear de carga da barra, que é
lambda = Qa
Cada pedacinho de barra de tamanho carrega uma carga .

Passo 3

Agora, calculamos a energia potencial elétrica da partícula quando ela está a distância mínima r = (a + b) - x' da barra. A distância de um elemento dV = k,dqr = k,lambda,dx'(a + b) - x', (posicionado em de 0 a ) até a partícula (que está em ) é
A contribuição de para o potencial em é
onde .

Passo 4

Integramos V = integral0^a k,lambda(a+b)-x'dx' = klambda integral0^a dx'a + b - x' = klambdal[-ln(a+b-x')r]0^a = klambdaln!l(a+bbr) de 0 até Ui = q0,V = k,q0,lambda,ln!l(a+bbr) = k,Q,q0a,ln!l(a+bbr) :
Então a energia potencial elétrica da carga é

Passo 5

Como ela parte do repouso e vai para o infinito, a energia potencial elétrica vira toda energia cinética. Ou seja:
Ui = Kf Longrightarrow k,Q,q0a,ln!l(a+bbr) = 12,m,v^2

Resposta

Isolando boxedv = raiz2k,Q,q0m,a,ln!l(a+bbr) , a velocidade no infinito é

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