Um capacitor esférico é construído com duas esferas concêntricas, a menor de raio a e a maior de raio b.
Determine a capacitância a partir do cálculo da diferença de potencial;

Passo 1

Beleza, então a gente tem um capacitor esférico feito por duas esferas que estão uma dentro da outra, como se fosse uma casca dentro de outra casca. A esfera menor tem raio a e a maior tem raio b. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir a capacitância desse capacitor usando a diferença de potencial entre as duas esferas. Para isso, vamos precisar entender sobre carga elétrica, potencial elétrico e capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um capacitor armazena carga elétrica. No caso das esferas, a esfera interna vai ter uma carga +Q e a externa uma carga -Q. A diferença de potencial ( V) entre elas é o quanto a voltagem muda de uma esfera para a outra.

Passo 3

Para encontrar a diferença de potencial, precisamos calcular o potencial elétrico na esfera interna e na externa. O potencial elétrico devido a uma esfera carregada é dado por:
V = kQr
onde k é a constante eletrostática ( k = 14piepsilon0), Q é a carga e r é a distância do centro da esfera.

Passo 4

Vamos calcular o potencial na esfera menor (raio a):
Va = kQa
E o potencial na esfera maior (raio b):
Vb = kQb

Passo 5

A diferença de potencial V entre as duas esferas é:
V = Va - Vb = kQa - kQb = kQ ( 1a - 1b )

Passo 6

Sabemos que a capacitância C é definida como a carga dividida pela diferença de potencial:
C = QV
Vamos substituir V pela expressão que encontramos:
C = QkQ ( 1a - 1b ) = 1k ( 1a - 1b )

Passo 7

Simplificando a expressão:
C = 1k ( b - aab ) = abk(b - a)
Como k = 14piepsilon0, podemos substituir:
C = 4piepsilon0 abb - a

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é:
C = 4piepsilon0 abb - a

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