Um capacitor esférico de raios a=2 cm e c=5 cm é preenchido por duas camadas de dielétricos com permissividades varepsilonr 1=2 e varepsilonr 2=1 localizadas em a e b, respectivamente, onde b=3 cm (Fig. 1). Considerando que o condutor interno possui uma carga de 7 pC e que o condutor externo é aterrado, determine: (b) a capacitância do capacitor;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor esférico com dois dielétricos diferentes entre as esferas. Temos:
  • Raio interno $ a = 2 , cm $
  • Raio intermediário $ b = 3 , cm $
  • Raio externo $ c = 5 , cm $
  • Permissividades relativas $ \varepsilon_{r1} = 2 $ (entre $ a $ e $ b $) e $ \varepsilon_{r2} = 1 $ (entre $ b $ e $ c $)
  • Carga no condutor interno $ Q = 7 , pC $
  • O condutor externo está aterrado (potencial zero)
Queremos encontrar a capacitância $ C $ desse capacitor. Para isso, vamos usar conceitos de capacitores esféricos com camadas dielétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor é dada por:
C = QV
Onde $ V $ é a diferença de potencial entre os condutores. Então, precisamos calcular $ V $, que é a soma das quedas de potencial em cada camada dielétrica.

Passo 3

A queda de potencial em uma camada dielétrica esférica é dada por:
V = integralr1^r2 14pivarepsilon0 varepsilonr Qr^2 dr
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ \varepsilon_r $ é a permissividade relativa do dielétrico, e $ r $ é a coordenada radial.

Passo 4

Vamos calcular a queda de potencial nas duas camadas:
  1. Primeira camada ($ a $ a $ b $):
  2. Segunda camada ($ b $ a $ c $):

Passo 5

A diferença de potencial total $ V $ é a soma das potenciais nas duas camadas:
V

Passo 6

Agora, substituímos $ V $ na fórmula da capacitância:
V

Passo 7

Vamos agora inserir os valores numéricos:
  • $ a = 2 , cm = 0,02 , m $
  • $ b = 3 , cm = 0,03 , m $
  • $ c = 5 , cm = 0,05 , m $
  • $ \varepsilon_{r1} = 2 $
  • $ \varepsilon_{r2} = 1 $
  • $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $

Passo 8

Substituindo os valores na expressão de $ C $:
C

Passo 9

Vamos calcular cada termo do denominador:
  1. Primeira parte:
    12 ( 10,02 - 10,03 ) = 12 ( 50 - 33,33 ) = 12 times 16,67 = 8,335 , m^-1
  2. Segunda parte:
    11 ( 10,03 - 10,05 ) = (33,33 - 20) = 13,33 , m^-1
Somando as duas partes:
8,335 + 13,33 = 21,665 , m^-1

Passo 10

Agora, substituímos de volta na expressão de $ C $:
C

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é aproximadamente $ C = 5,13 \times 10^{-12} , F $ (ou 5,13 pF).

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