Um capacitor esférico de raios
e
é preenchido por duas camadas de dielétricos com permissividades
e
localizadas em
e
, respectivamente, onde
(Fig. 1). Considerando que o condutor interno possui uma carga de 7 pC e que o condutor externo é aterrado, determine: (b) a capacitância do capacitor;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um capacitor esférico com dois dielétricos diferentes entre as esferas. Temos:
- Raio interno $ a = 2 , cm $
- Raio intermediário $ b = 3 , cm $
- Raio externo $ c = 5 , cm $
- Permissividades relativas $ \varepsilon_{r1} = 2 $ (entre $ a $ e $ b $) e $ \varepsilon_{r2} = 1 $ (entre $ b $ e $ c $)
- Carga no condutor interno $ Q = 7 , pC $
- O condutor externo está aterrado (potencial zero)
Queremos encontrar a capacitância $ C $ desse capacitor. Para isso, vamos usar conceitos de capacitores esféricos com camadas dielétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor é dada por:
Onde $ V $ é a diferença de potencial entre os condutores. Então, precisamos calcular $ V $, que é a soma das quedas de potencial em cada camada dielétrica.
Passo 3
A queda de potencial em uma camada dielétrica esférica é dada por:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ \varepsilon_r $ é a permissividade relativa do dielétrico, e $ r $ é a coordenada radial.
Passo 4
Vamos calcular a queda de potencial nas duas camadas:
-
Primeira camada ($ a $ a $ b $):
-
Segunda camada ($ b $ a $ c $):
Passo 5
A diferença de potencial total $ V $ é a soma das potenciais nas duas camadas:
Passo 6
Agora, substituímos $ V $ na fórmula da capacitância:
Passo 7
Vamos agora inserir os valores numéricos:
- $ a = 2 , cm = 0,02 , m $
- $ b = 3 , cm = 0,03 , m $
- $ c = 5 , cm = 0,05 , m $
- $ \varepsilon_{r1} = 2 $
- $ \varepsilon_{r2} = 1 $
- $ \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , F/m $
Passo 8
Substituindo os valores na expressão de $ C $:
Passo 9
Vamos calcular cada termo do denominador:
-
Primeira parte:
-
Segunda parte:
Somando as duas partes:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na expressão de $ C $:
Resposta
A capacitância do capacitor esférico é aproximadamente $ C = 5,13 \times 10^{-12} , F $ (ou 5,13 pF).