Um capacitor de placas planas e paralelas de área A possui um material de constante dielétrica K e resistividade rho preenchendo todo o seu interior. Esse material não é perfeitamente isolante, de forma que ele permite a passagem de uma corrente elétrica de uma placa para a outra, descarregando gradualmente o capacitor. Suponha que a separação entre as placas é muito menor que as suas dimensões, de forma que elas podem ser tratadas como infinitas.
(b) Determine a densidade de corrente (módulo, direção e sentido) que flui no interior do dielétrico no mesmo instante.

Passo 1

Beleza, temos um capacitor de placas planas e paralelas, separadas por uma distância (muito menor que as dimensões laterais), área , preenchido por um dielétrico de constante elétrica que não é isolante perfeito: sua resistividade é . Logo, mesmo carregado com carga e , ele “vaza” carga pelo interior do dielétrico.
Conteúdo envolvido:
  1. Campo elétrico uniforme num capacitor plano: em função de , , , .
  2. Lei de Ohm no meio contínuo: densidade de corrente , com .
  3. Relação entre D, E e Q/A: .

Passo 2

Primeiro a gente acha o campo elétrico D = QA,, dentro do dielétrico.
No capacitor plano com dielétrico de constante E = Dvarepsilon = Q/AK,varepsilon0 = QK,varepsilon0,A, , a densidade de fluxo elétrico normal é
e como , temos

Passo 3

Agora aplicamos a “lei de Ohm” local:
J = sigma, E com sigma = 1rho
Então, em módulo,
J = sigma,E = 1rho ,QK,varepsilon0,A = Qrho,K,varepsilon0,A

Passo 4

Pra completar, deixamos claro o vetor. O campo J = Qrho,K,varepsilon0,A;hat n;, vai da placa positiva para a negativa, e a corrente acompanha o sentido do campo (carga positiva vaza na mesma direção de ).
Logo, em forma vetorial,
onde é o vetor unitário apontando da placa positiva em direção à placa negativa.

Resposta

A densidade de corrente dentro do dielétrico, no instante considerado, é
boxed J = Qrho,K,varepsilon0,A,hat n
com módulo , direção normal às placas e sentido da placa positiva para a negativa.

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