Um capacitor esférico de raios a=2 cm e c=5 cm é preenchido por duas camadas de dielétricos com permissividades varepsilonr 1=2 e varepsilonr 2=1 localizadas em a e b, respectivamente, onde b=3 cm (Fig. 1). Considerando que o condutor interno possui uma carga de 7 pC e que o condutor externo é aterrado, determine: (a) o potencial em r=b;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um capacitor esférico com duas camadas de dielétricos. As informações importantes são:
  • Raios das esferas: $ a = 2 , cm $ e $ c = 5 , cm $.
  • Camadas de dielétricos:
    • Primeira camada: $ a < r < b $ com permissividade relativa $ \varepsilon_{r1} = 2 $.
    • Segunda camada: $ b < r < c $ com permissividade relativa $ \varepsilon_{r2} = 1 $.
  • Carga no condutor interno: $ 7 , pC $.
  • Condutor externo é aterrado (potencial zero).
Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre capacitores esféricos e dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a permissão elétrica do material ($ \varepsilon varepsilon áàá \varepsilon_0 varepsilon0 à \varepsilon_r $) pela fórmula:
varepsilonr
Onde $ \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} , F/m $.

Passo 3

Para encontrar o potencial em $ r = b $, precisamos calcular o potencial devido à carga no condutor interno nas diferentes regiões. Vamos dividir o espaço em três regiões:
  1. $ r < a $: Dentro do condutor interno.
  2. $ a < r < b $: Primeira camada dielétrica.
  3. $ b < r < c $: Segunda camada dielétrica.
  4. $ r > c $: Fora do capacitor, mas o condutor externo é aterrado, então o potencial aqui é zero.

Passo 4

A carga total no condutor interno é $ Q = 7 , pC = 7 \times 10^{-12} , C $.
O potencial devido a uma carga esférica é dado por:
Q = 7 , pC = 7 times 10^-12 , C
Mas precisamos considerar as diferentes permissividades nas camadas dielétricas.

Passo 5

Vamos calcular o potencial em cada região:
  1. Para $ r < a $: O potencial é constante e igual ao potencial na superfície $ r = a $.
  2. Para $ a < r < b $:
    r < a
    Onde $ \varepsilon_1 = \varepsilon_{r1} \varepsilon_0 $.
  3. Para $ b < r < c $:
    r = a
    Onde $ \varepsilon_2 = \varepsilon_{r2} \varepsilon_0 $.
  4. Para $ r > c $: $ V® = 0 $ (condutor externo aterrado).

Passo 6

Queremos encontrar o potencial em $ r = b $. Vamos usar a continuidade do potencial nas interfaces das camadas dielétricas.
Isso significa que $ V_1(b) = V_2(b) $.
Então:
r = b
Isso implica que:
V1(b) = V2(b)
Mas, na verdade, como $ \varepsilon_{r2} = 1 $ e $ \varepsilon_{r1} = 2 $, a relação correta leva em conta que o potencial total em $ r = b $ é a soma dos potenciais das duas camadas.

Passo 7

Considerando as duas camadas, o potencial em $ r = b $ será a soma dos potenciais de cada camada:
r = b
Substituindo:
V(b) = V1(b) + V2(b)

Passo 8

Vamos calcular cada termo:
Primeira camada:
varepsilon1 = 2 times 8.85 times 10^-12 = 1.77 times 10^-11 , F/m
V1(b) = 14pi times 1.77 times 10^-11 times 7 times 10^-120.03 approx 93.1 , V
Segunda camada:
varepsilon2 = 1 times 8.85 times 10^-12 = 8.85 times 10^-12 , F/m
V2(b) = 14pi times 8.85 times 10^-12 times 7 times 10^-120.05 approx 40.0 , V

Resposta

O potencial em $ r = b $ é aproximadamente $ 133.1 , V $.

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