Um capacitor esférico de raios
e
é preenchido por duas camadas de dielétricos com permissividades
e
localizadas em
e
, respectivamente, onde
(Fig. 1). Considerando que o condutor interno possui uma carga de 7 pC e que o condutor externo é aterrado, determine: (a) o potencial em
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um capacitor esférico com duas camadas de dielétricos. As informações importantes são:
- Raios das esferas: $ a = 2 , cm $ e $ c = 5 , cm $.
- Camadas de dielétricos:
- Primeira camada: $ a < r < b $ com permissividade relativa $ \varepsilon_{r1} = 2 $.
- Segunda camada: $ b < r < c $ com permissividade relativa $ \varepsilon_{r2} = 1 $.
- Carga no condutor interno: $ 7 , pC $.
- Condutor externo é aterrado (potencial zero).
Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre capacitores esféricos e dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a permissão elétrica do material ($ \varepsilon
\varepsilon_0
\varepsilon_r $) pela fórmula:
Onde $ \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} , F/m $.
Passo 3
Para encontrar o potencial em $ r = b $, precisamos calcular o potencial devido à carga no condutor interno nas diferentes regiões. Vamos dividir o espaço em três regiões:
- $ r < a $: Dentro do condutor interno.
- $ a < r < b $: Primeira camada dielétrica.
- $ b < r < c $: Segunda camada dielétrica.
- $ r > c $: Fora do capacitor, mas o condutor externo é aterrado, então o potencial aqui é zero.
Passo 4
A carga total no condutor interno é $ Q = 7 , pC = 7 \times 10^{-12} , C $.
O potencial devido a uma carga esférica é dado por:
Mas precisamos considerar as diferentes permissividades nas camadas dielétricas.
Passo 5
Vamos calcular o potencial em cada região:
-
Para $ r < a $: O potencial é constante e igual ao potencial na superfície $ r = a $.
-
Para $ a < r < b $:Onde $ \varepsilon_1 = \varepsilon_{r1} \varepsilon_0 $.
-
Para $ b < r < c $:Onde $ \varepsilon_2 = \varepsilon_{r2} \varepsilon_0 $.
-
Para $ r > c $: $ V® = 0 $ (condutor externo aterrado).
Passo 6
Queremos encontrar o potencial em $ r = b $. Vamos usar a continuidade do potencial nas interfaces das camadas dielétricas.
Isso significa que $ V_1(b) = V_2(b) $.
Então:
Isso implica que:
Mas, na verdade, como $ \varepsilon_{r2} = 1 $ e $ \varepsilon_{r1} = 2 $, a relação correta leva em conta que o potencial total em $ r = b $ é a soma dos potenciais das duas camadas.
Passo 7
Considerando as duas camadas, o potencial em $ r = b $ será a soma dos potenciais de cada camada:
Substituindo:
Passo 8
Vamos calcular cada termo:
Primeira camada:
Segunda camada:
Resposta
O potencial em $ r = b $ é aproximadamente $ 133.1 , V $.