1- Um capacitor é formado por duas superfícies cilíndricas concêntricas. A superfície interna tem raio a e a externa b, ambas possuindo altura L. (a) Determine a capacitância deste sistema ^(1,5 ponto ). (b) Agora, um dielétrico de permissividade elétrica varepsilon é inserido entre os cilindros. Obtenha, tal como no item (a) a nova capacitância deste sistema ^(1,5 ponto) . (c) explique fisicamente o porquê de haver uma diferença entre as capacitâncias do item (a) e do item (b) ^(2 pontos ). Supunha sempre que o campo elétrico é constante. (total:5 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor formado por duas superfícies cilíndricas concêntricas de raios internos a e externos b, altura L, inicialmente com vácuo entre elas e depois preenchido por um dielétrico de permissividade varepsilon. Precisamos usar a lei de Gauss para obter o campo elétrico, calcular a diferença de potencial V entre os cilindros e então usar C=QV.

Passo 2

Para o caso em vácuo, aplicamos a lei de Gauss em um cilindro imaginário coaxial de raio r, com a<r<b. A carga total no cilindro de altura L é Q, portanto
oint Ecdot dA =E(r),(2pi r L) =Qvarepsilon0
Dessa forma,
E(r) =Q2pivarepsilon0 L,r
A diferença de potencial entre as superfícies é
V =integrala^bE(r),dr =integrala^bQ2pivarepsilon0 L,r,dr =Q2pivarepsilon0 Lln!l(bar)

Passo 3

Como C=QV, para o capacitor a vácuo obtemos
Cvácuo =Q Q2pivarepsilon0 Lln(tfracba) =2pivarepsilon0 Lln!l(tfracbar) á

Passo 4

Quando inserimos o dielétrico de permissividade varepsilon, todo o procedimento permanece igual, mas a lei de Gauss passa a ser
E(r),(2pi r L) =Qvarepsilon,
levando a
Cdielétrico =2pivarepsilon,Lln!l(tfracbar) é

Passo 5

Fisicamente, o dielétrico polariza-se no campo elétrico, criando cargas ligadas que se opõem ao campo interno e reduzem a diferença de potencial para a mesma carga Q. Como a capacitância é C=Q/V, essa redução de V faz C aumentar.

Resposta

(a) Cvácuo=2pivarepsilon0 Lln!l(tfracbar)á
(b) Cdielétrico=2pivarepsilon,Lln!l(tfracbar)é
(c) A presença do dielétrico polariza o meio entre as placas, reduzindo o campo efetivo e a tensão V para a mesma carga Q, o que aumenta a capacitância.

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