4- Consider a cylinder with radius R, lengh L, and a current density J passing through it. (a) What is the current between R / 2 and R if J is homogeneous? ^(1.25 points) (b) Now, consider that J=a r^2, where a is a constant. What is the current in the same region as in part (a)? (1.25 points) (c) If J=2 times 10^5 A / m^2 (as in part (a)), R=2 mm, and a=3 times 10^11 A / m^4, express the results of parts (a) and (b) numerically. ^(0.5 point ) (Total: 3 points)

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro de raio R e comprimento L com densidade de corrente J (que pode depender de r). Queremos achar a corrente total que atravessa a seção transversal no anel definido por R/2<= r<= R. Para isso usamos o conceito de densidade de corrente em coordenadas cilíndricas:
dI = J(r),dA,
onde dA = 2pi r,dr. Integramos r de R/2 até R.

Passo 2

Para J homogênea (constante), chamemos J(r)=J. A corrente no anel é
I(a) = integralR/2^R J,(2pi r,dr) = 2pi J integralR/2^R r,dr = 2pi J gl[r^22gr]R/2^R = pi Jl(R^2 - (R/2)^2r)
Como (R/2)^2=R^2/4, temos
I(a) = pi Jl(R^2 - R^2/4r) = 34,pi R^2 J

Passo 3

Agora com J(r)=a,r^2. A corrente é
I(b) = integralR/2^R a,r^2,(2pi r,dr) = 2pi a integralR/2^R r^3,dr = 2pi agl[r^44gr]R/2^R = pi a2l(R^4 - (R/2)^4r)
Como (R/2)^4=R^4/16, fica
I(b) = pi a2l(R^4 - R^416r) = 1532,pi a,R^4

Passo 4

Para valores numéricos J=2times10^5,A/m ^2, R=2,mm =2times10^-3,m e a=3times10^11,A/m ^4:
I(a) = 34,pi (2times10^-3)^2 (2times10^5) = 0,6,pi approx 1,88 A,
I(b) = 1532,pi (3times10^11)(2times10^-3)^4 = 1532,pi times4,8 approx 7,07 A

Resposta

(a) I(a) = tfrac34,pi R^2 J approx 1,88,A
(b) I(b) = tfrac1532,pi a R^4 approx 7,07,A

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