Questão 12: Se, entre as placas de um capacitor plano paralelo, existe um material dielétrico de constante dielétrica kappa, sendo sigma a densidade superficial de cargas nas placas e sigmap, a densidade superficial de cargas induzidas no dielétrico, mostre que:
sigmap=sigma chi1+chi
onde chi=kappa-1 é susceptibilidade dielétrica.

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor de placas paralelas preenchido por um dielétrico de constante dielétrica kappa. Cada placa possui densidade de carga livre sigma e o dielétrico induz uma densidade de carga ligada sigmap em sua superfície. Para achar sigmap vamos usar a Lei de Gauss para dielétricos e a relação constitutiva entre campo elétrico E, deslocamento D e polarização P.

Passo 2

Entre as placas, o campo é uniforme e a Lei de Gauss para dielétricos diz
nablacdotD=rholivre
Num cilindro gaussiano englobando uma placa, obtemos
D = sigmalivre = sigma
Como D=varepsilon0kappa,E, vem
E = Dvarepsilon0kappa = sigmavarepsilon0kappa

Passo 3

A polarização do dielétrico está dada pela relação linear
P = varepsilon0,chi,E,
onde chi=kappa-1 é a suscetibilidade dielétrica.

Passo 4

A densidade de carga ligada (induzida) na superfície do dielétrico é
sigmap = Pcdotn = varepsilon0,chi,E
Substituindo E achado no Passo 2,
sigmap = varepsilon0,chi,sigmavarepsilon0kappa = sigma,chikappa

Passo 5

Como kappa=1+chi, basta substituir para obter
sigmap = sigma,chi1+chi

Resposta

sigmap = sigma,chi1+chi

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