4- A capacitor is formed by two concentric cylindrical surfaces. The inner surface has a radius
and the outer one has a radius
, both having a height
. (a) Determine the capacitance of this system
. (b) Now, a dielectric with electrical permittivity
is inserted between the cylinders. Obtain, as in item (a), the new capacitance of this system (1.5 points). (c) Physically explain why there is a difference between the capacitances in item (a) and item (b)
. Always assume that the electric field is constant. (Total: 5 points)
Passo 1
Temos um capacitor coaxial formado por dois cilindros concêntricos de raios internos
e externos
, ambos de altura
. O objetivo é usar o teorema de Gauss para achar o campo elétrico entre os cilindros, relacionar carga
e diferença de potencial
e, assim, obter a capacitância
. No item (b) repetimos o procedimento trocando a permissividade do vácuo
pela do dielétrico
.
Passo 2
Aplicamos o teorema de Gauss a uma superfície cilíndrica de raio
,
, e altura
. O fluxo é
logo
Passo 3
A diferença de potencial entre os cilindros é
Assim, a capacitância no vácuo é
Passo 4
Se inserimos um dielétrico de permissividade
entre os cilindros, o mesmo raciocínio vale, trocando
por
. Logo
Passo 5
Fisicamente, o dielétrico polariza-se sob o campo elétrico, gerando cargas ligadas que se opõem parcialmente ao campo originado pela carga livre. Mantendo o mesmo campo
(ou a mesma tensão
), a densidade de deslocamento elétrico
cresce, permitindo armazenar mais carga livre
para a mesma diferença de potencial. Isso resulta em capacitância maior com dielétrico.
Resposta
(a)
(b)
(c) A presença do dielétrico polariza o meio, reduz o campo efetivo devido às cargas ligadas e, para a mesma tensão, permite armazenar mais carga livre, aumentando assim a capacitância.