4- A capacitor is formed by two concentric cylindrical surfaces. The inner surface has a radius a and the outer one has a radius b, both having a height L. (a) Determine the capacitance of this system ^(1.5 points ). (b) Now, a dielectric with electrical permittivity varepsilon is inserted between the cylinders. Obtain, as in item (a), the new capacitance of this system (1.5 points). (c) Physically explain why there is a difference between the capacitances in item (a) and item (b) ^(2 points ). Always assume that the electric field is constant. (Total: 5 points)

Passo 1

Temos um capacitor coaxial formado por dois cilindros concêntricos de raios internos a e externos b, ambos de altura L. O objetivo é usar o teorema de Gauss para achar o campo elétrico entre os cilindros, relacionar carga Q e diferença de potencial V e, assim, obter a capacitância C=Q/V. No item (b) repetimos o procedimento trocando a permissividade do vácuo varepsilon0 pela do dielétrico varepsilon.

Passo 2

Aplicamos o teorema de Gauss a uma superfície cilíndrica de raio r, a<r<b, e altura L. O fluxo é
E(r),2pi rL ;=;Qvarepsilon0,
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E(r);=;Q2pivarepsilon0,L,r

Passo 3

A diferença de potencial entre os cilindros é
V ;=;integrala^b E(r),dr ;=;Q2pivarepsilon0,Lintegrala^bdrr ;=;Q2pivarepsilon0,Lln!ba
Assim, a capacitância no vácuo é
C ;=;QV ;=;2pivarepsilon0,Lln!tfracba

Passo 4

Se inserimos um dielétrico de permissividade varepsilon entre os cilindros, o mesmo raciocínio vale, trocando varepsilon0 por varepsilon. Logo
C ;=;2pivarepsilon,Lln!tfracba

Passo 5

Fisicamente, o dielétrico polariza-se sob o campo elétrico, gerando cargas ligadas que se opõem parcialmente ao campo originado pela carga livre. Mantendo o mesmo campo E (ou a mesma tensão V), a densidade de deslocamento elétrico D=varepsilonE cresce, permitindo armazenar mais carga livre Q para a mesma diferença de potencial. Isso resulta em capacitância maior com dielétrico.

Resposta

(a)
C ;=;2pivarepsilon0,Lln!tfracba
(b)
C ;=;2pivarepsilon,Lln!tfracba
(c) A presença do dielétrico polariza o meio, reduz o campo efetivo devido às cargas ligadas e, para a mesma tensão, permite armazenar mais carga livre, aumentando assim a capacitância.

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