3- (a) Determine a corrente em um fio de raio R se o módulo da densidade de corrente é dado por (i) Ja=J0(r^2R^2) e (ii) Jb=J0(1-r^2R^2), onde r é a distância radial e J0 um constante ^(1,5 pontos ). (b) qual a razão entre as correntes obtidas no item (a)? ^(0,5 ponto) (c) Faça uma análise das correntes na superficie e na região central do fio. ^(1,0 ponto ) ( 3 ptos total)

Passo 1

O enunciado pede a corrente total que percorre um fio de raio R quando a densidade de corrente depende da distância radial r segundo duas leis diferentes:
(i) Ja(r)=J0,r^2R^2
(ii) Jb(r)=J0l(1-r^2R^2r)
O que precisamos é usar a expressão em coordenadas cilíndricas para a corrente total através da seção transversal do fio:
I ;=; integralárea !J(r),dA ;=; 2pi integral0^R J(r),r,dr á

Passo 2

Aplicando a fórmula para Ja:
Ia =2pi integral0^R l(J0,r^2R^2r),r,dr =2pi,J0R^2integral0^R r^3,dr =2pi,J0R^2cdotR^44 =pi,J0,R^22

Passo 3

Aplicando a fórmula para Jb:
Ib =2pi integral0^R J0l(1-r^2R^2r),r,dr =2pi,J0l[integral0^R r,dr ;-;1R^2integral0^Rr^3,drr]
=2pi,J0l[R^22-R^44R^2r] =2pi,J0cdotR^24 =pi,J0,R^22

Passo 4

A razão entre as correntes é
IaIb = pi J0R^22 pi J0R^22 =1

Passo 5

Análise das densidades e das correntes locais:
Para Ja temos Ja(0)=0 (zero no centro) e Ja(R)=J0 (máximo na superfície). Ou seja, a corrente flui mais fortemente perto da casca do fio.
Para Jb temos Jb(0)=J0 (máximo no centro) e Jb(R)=0 (zero na superfície). Aqui a corrente é concentrada no núcleo do fio. Apesar dessas diferenças locais, as correntes totais coincidem.

Resposta

Ia = dfracpi J0R^22,
Ib = dfracpi J0R^22,
razão Ia/Ib=1.
Em Ja a densidade cresce do centro para a superfície, em Jb ela decresce do centro para a superfície.

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