Considere um plano infinito, muito fino, uniformemente carregado, com uma densidade superficial de cargas \sigma. Encontre o potencial elétrico a uma distância z do plano.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o potencial elétrico a uma distância z de um plano infinito, muito fino, uniformemente carregado, cuja densidade superficial de carga é \sigma.
Informações dadas:
  • Há um plano infinito, muito fino, com densidade superficial de carga \sigma (charge por unidade de área).
  • Quer-se o potencial elétrico V como função da distância z perpendicular ao plano.
  • Não foi fornecida referência de potencial (ou seja, pode haver uma constante aditiva arbitrária).

Passo 2

Entendimento do que vamos usar (motivo da escolha do método):
  • Um plano infinito uniforme tem simetria que simplifica muito o campo elétrico: o campo depende só da coordenada z (distância perpendicular ao plano) e tem direção \hat{\mathbf z} (para cima ou para baixo).
  • A forma mais direta é primeiro obter o campo elétrico \mathbf{E} usando a Lei de Gauss (aproveitando a simetria), e depois integrar \mathbf{E}=-\nabla V para achar V(z).
    Vou explicar passo a passo a Lei de Gauss e a integração, sem pular detalhes.

Passo 3

Lei de Gauss e cálculo do módulo do campo:
  • A Lei de Gauss diz que a integral de fluxo do campo elétrico numa superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida por \varepsilon_0\). Em símbolos: \[\oint_{\mathcal S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_0},
onde d\mathbf{A} é o elemento de área orientado para fora e Q_{\rm enc} é a carga contida na superfície.
  • Para explorar a simetria do plano infinito, escolhe-se uma “caixinha” cilíndrica (um pillbox) com faces paralelas ao plano: área de cada face igual a A, espessura pequena que atravessa o plano. As duas tampas ficam uma a z>0 e outra a z<0.
  • A contribuição ao fluxo vem apenas das duas faces planas (os lados do cilindro não contribuem porque \mathbf{E} é perpendicular a esses lados). Supondo que o campo tem magnitude E imediatamente fora do plano, o fluxo total é E A + E A = 2 E A.
  • A carga dentro da caixa é a densidade superficial vezes a área: Q_{\rm enc}=\sigma A (peguei \sigma do enunciado).
  • Substituindo na Lei de Gauss:
2 E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Interpretação de sinal/direção: para \sigma>0 o campo aponta para fora do plano em ambos os lados (ou seja, para +\hat{\mathbf z} quando z>0 e para -\hat{\mathbf z} quando z<0). Para \sigma<0 o sentido inverte. Em forma vetorial podemos escrever
\mathbf{E}(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\operatorname{sign}(z)\,\hat{\mathbf z},
onde \operatorname{sign}(z)=\begin{cases}+1,&z>0,\\\ 0,&z=0,\\\ -1,&z<0.\end{cases}\] (O valor em \(z=0 é formal; o campo tem uma descontinuidade atravessando o plano.)

Passo 4

Relação entre campo e potencial e integração:
  • A relação fundamental entre campo elétrico e potencial é
\mathbf{E}=-\nabla V.
  • Como \mathbf{E} tem apenas componente na direção z e depende só de z, isso reduz-se a uma equação ordinária:
E_z(z)=-\frac{dV}{dz}.
  • Agora integra-se separadamente para as regiões z>0 e z<0.
Para z>0:
  • Sabemos que E_z(z)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} (constante, apontando para +\hat{\mathbf z} se \sigma>0). Então
-\frac{dV}{dz}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
  • Integrando em z:
V(z)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,z + C_+,
onde C_+ é uma constante de integração para a região z>0.
Para z<0:
  • Aqui E_z(z)=-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} (para \sigma>0; em geral segue o sinal da expressão vetorial acima). Assim
-\frac{dV}{dz}=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
o que dá, ao integrar,
V(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,z + C_-,
onde C_- é a constante de integração para z<0.

Passo 5

Continuidade do potencial e constante arbitrária:
  • O potencial elétrico V é contínuo atravessando uma superfície com carga superficial finita; somente o campo (a derivada) tem salto. Portanto impõe-se continuidade em z=0:
\lim_{z\to0^+}V(z)=\lim_{z\to0^-}V(z)\quad\Rightarrow\quad C_+=C_-=V(0).
  • Assim podemos unir as duas expressões num único enunciado usando valor absoluto:
V(z)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,|z| + V(0),
pois para z>0 isso dá V(z)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}z+V(0) e para z<0 V(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}z+V(0), que coincidem com as integrais acima.
  • Observação importante sobre a referência: o potencial está definido somente até uma constante aditiva; V(0) é essa constante. Normalmente em problemas com plano infinito não é possível escolher V(\infty)=0 (porque o potencial cresce linearmente com z e não tende a zero no infinito), então é natural escolher V(0)=0 como referência para simplificar.

Passo 6

Conclusões físicas e forma final (exemplos):
  • Forma geral (com constante arbitrária):
V(z)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,|z| + V(0).
  • Escolhendo a referência V(0)=0 (prática comum), obtemos a expressão simples
V(z)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,|z|.
  • Comentário sobre o sinal: se \sigma>0 o potencial diminui linearmente com |z| a partir do plano; se \sigma<0 o sinal inverte. Em qualquer caso a dependência é linear em |z| e o campo é constante em módulo.

Resposta

\displaystyle V(z)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,|z| + V(0)
\displaystyle (Escolhendo a referência V(0)=0: \displaystyle V(z)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,|z|.)

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