Considere um plano infinito, muito fino, uniformemente carregado, com uma densidade superficial de cargas
. Encontre o potencial elétrico a uma distância
do plano.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o potencial elétrico a uma distância
de um plano infinito, muito fino, uniformemente carregado, cuja densidade superficial de carga é
.
Informações dadas:
- Há um plano infinito, muito fino, com densidade superficial de carga
(charge por unidade de área). - Quer-se o potencial elétrico
como função da distância perpendicular ao plano. - Não foi fornecida referência de potencial (ou seja, pode haver uma constante aditiva arbitrária).
Passo 2
Entendimento do que vamos usar (motivo da escolha do método):
- Um plano infinito uniforme tem simetria que simplifica muito o campo elétrico: o campo depende só da coordenada
(distância perpendicular ao plano) e tem direção (para cima ou para baixo). - A forma mais direta é primeiro obter o campo elétrico
usando a Lei de Gauss (aproveitando a simetria), e depois integrar para achar .
Vou explicar passo a passo a Lei de Gauss e a integração, sem pular detalhes.
Passo 3
Lei de Gauss e cálculo do módulo do campo:
- A Lei de Gauss diz que a integral de fluxo do campo elétrico numa superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida por
onde
é o elemento de área orientado para fora e
é a carga contida na superfície.
- Para explorar a simetria do plano infinito, escolhe-se uma “caixinha” cilíndrica (um pillbox) com faces paralelas ao plano: área de cada face igual a
, espessura pequena que atravessa o plano. As duas tampas ficam uma a e outra a . - A contribuição ao fluxo vem apenas das duas faces planas (os lados do cilindro não contribuem porque
é perpendicular a esses lados). Supondo que o campo tem magnitude imediatamente fora do plano, o fluxo total é . - A carga dentro da caixa é a densidade superficial vezes a área:
(peguei do enunciado). - Substituindo na Lei de Gauss:
- Interpretação de sinal/direção: para
o campo aponta para fora do plano em ambos os lados (ou seja, para quando e para quando ). Para o sentido inverte. Em forma vetorial podemos escrever
onde
é formal; o campo tem uma descontinuidade atravessando o plano.)
Passo 4
Relação entre campo e potencial e integração:
- A relação fundamental entre campo elétrico e potencial é
- Como
tem apenas componente na direção e depende só de , isso reduz-se a uma equação ordinária:
- Agora integra-se separadamente para as regiões
e .
Para
:
- Sabemos que
(constante, apontando para se ). Então
- Integrando em
:
onde
é uma constante de integração para a região
.
Para
:
- Aqui
(para ; em geral segue o sinal da expressão vetorial acima). Assim
o que dá, ao integrar,
onde
é a constante de integração para
.
Passo 5
Continuidade do potencial e constante arbitrária:
- O potencial elétrico
é contínuo atravessando uma superfície com carga superficial finita; somente o campo (a derivada) tem salto. Portanto impõe-se continuidade em :
- Assim podemos unir as duas expressões num único enunciado usando valor absoluto:
pois para
isso dá
e para
dá
, que coincidem com as integrais acima.
- Observação importante sobre a referência: o potencial está definido somente até uma constante aditiva;
é essa constante. Normalmente em problemas com plano infinito não é possível escolher (porque o potencial cresce linearmente com e não tende a zero no infinito), então é natural escolher como referência para simplificar.
Passo 6
Conclusões físicas e forma final (exemplos):
- Forma geral (com constante arbitrária):
- Escolhendo a referência
(prática comum), obtemos a expressão simples
- Comentário sobre o sinal: se
o potencial diminui linearmente com a partir do plano; se o sinal inverte. Em qualquer caso a dependência é linear em e o campo é constante em módulo.