A capacitor is made from two hollow, coaxial copper cylinders, one inside the other. There is air in the space between the cylinders. The inner cylinder has net positive charge and the outer cylinder has net negative charge. The inner cylinder has radius 2.50 mm , the outer cylinder has radius 3.10 mm , and the length of each cylinder is 36.0 cm . If the potential difference between the surfaces of the two cylinders is 80.0 V , what is the magnitude of the electric field at a point between the two cylinders that is a distance of 2.80 mm from their common axis and midway between the ends of the cylinders?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros coaxiais de cobre, um dentro do outro, com ar entre eles. O cilindro interno (raio a = 2,50 mm) está carregado positivamente, o externo (raio b = 3,10 mm) negativamente, ambos com comprimento L = 36,0 cm. A diferença de potencial entre as superfícies é V = 80,0 V. A gente quer o campo elétrico em um ponto que está a r = 2,80 mm do eixo, no meio dos comprimentos.
Conteúdo: Lei de Gauss para cilindros, relação entre E® e carga linear λ, e depois usar a definição de diferença de potencial
O que vamos precisar:
  • Aplicar Lei de Gauss para achar em termos de λ
  • Relacionar V com integrando de a até b para encontrar λ
  • Finalmente, avaliar no r pedido

Passo 2

Lei de Gauss (em simetria cilíndrica) diz que, para um cilindro imaginário de raio r e comprimento L centrado no eixo,
oint Ecdot dA = Qencvarepsilon0Longrightarrow E(r),(2pi r L)=lambda Lvarepsilon0,
onde λ é a carga por unidade de comprimento do cilindro interno. Assim
E(r)=lambda2pivarepsilon0,r

Passo 3

Agora precisamos da λ, mas só temos V = 80 V entre a e b. A diferença de potencial é
V = -integrala^b Ecdot dr = integrala^b lambda2pivarepsilon0,r,dr = lambda2pivarepsilon0ln!l(bar)
Isolando λ:
lambda = 2pivarepsilon0,Vln(b/a)

Passo 4

Substitui λ de volta em E(r)=12pivarepsilon0,r;2pivarepsilon0,Vln(b/a) =Vr,ln(b/a) :
E(2,80 mm)=80,0(2,80times10^-3)(0,2151)approx1,33times10^5;V/m
Agora põe os valores (tudo em SI):
a = 2{,}50×10^{-3},m, b = 3{,}10×10^{-3},m,
r = 2{,}80×10^{-3},m, V = 80{,}0 V.
Primeiro calcule .
Então

Resposta

A magnitude do campo elétrico a 2,80 mm do eixo vale aproximadamente
boxed1,33times10^5 V/m

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