Um capacitor de 5 \mu \mathrm{~F} é carregado até 30 V e é conectado a um indutor de 10 mH . (a) Quanta energia é armazenada no sistema? (b) Qual é a frequência de oscilação do circuito? (c) Qual é a máxima corrente no circuito?

Passo 1

O enunciado dá um circuito LC formado por um capacitor e um indutor e pede três coisas. Dados fornecidos:
  • Capacitância: C=5\\ \mu\mathrm{F}=5\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Tensão inicial no capacitor: V=30\\ \mathrm{V}.
  • Indutância: L=10\\ \mathrm{mH}=10\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
Perguntas do enunciado:
(a) Quanta energia é armazenada no sistema?
(b) Qual é a frequência de oscilação do circuito?
(c) Qual é a máxima corrente no circuito?

Passo 2

Entendendo a física básica (aula rápida e amigável): quando o capacitor está carregado e ainda não há corrente, toda a energia do sistema está armazenada no capacitor. Em um circuito ideal LC sem perdas, a energia total fica conservada e oscila entre o capacitor (energia elétrica) e o indutor (energia magnética). As fórmulas fundamentais que vamos usar são:
Energia armazenada no capacitor:
U_C=\tfrac{1}{2} C V^{2},
onde U_C é a energia em joules, C a capacitância em farads e V a tensão em volts.
Energia armazenada no indutor:
U_L=\tfrac{1}{2} L I^{2},
onde U_L é a energia em joules, L a indutância em henries e I a corrente em ampères.
A conservação de energia no circuito ideal implica que a energia total inicial \tfrac{1}{2}C V^{2} permanece constante e, no instante em que a corrente atinge seu máximo, toda a energia está em U_L.

Passo 3

Calcular a energia inicial (responde (a)). Aplicando a fórmula do capacitor:
U=\tfrac{1}{2} C V^{2}.
Substituindo C=5\times10^{-6}\\ \mathrm{F} e V=30\\ \mathrm{V}:
U=\tfrac{1}{2}\cdot(5\times10^{-6})\cdot(30)^{2}.
Faça as contas passo a passo: (30)^{2}=900. Então
U=\tfrac{1}{2}\cdot5\times10^{-6}\cdot900=2{,}5\times10^{-6}\cdot900=2{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia armazenada no sistema é \,2{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a frequência de oscilação (responde (b)). Para um circuito LC ideal a frequência própria é dada por:
\omega=\frac{1}{\sqrt{L C}}
onde \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s}. A frequência em hertz é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi\sqrt{L C}}.
Agora substituímos L=10\times10^{-3}\\ \mathrm{H} e C=5\times10^{-6}\\ \mathrm{F}. Primeiro calcule L C:
L C=(10\times10^{-3})\cdot(5\times10^{-6})=50\times10^{-9}=5\times10^{-8}.
Em seguida
\sqrt{L C}=\sqrt{5\times10^{-8}}=2{,}2360679\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
Logo
f=\frac{1}{2\pi\cdot2{,}2360679\times10^{-4}}\approx711\\ \mathrm{Hz}.
(Interpretando: o circuito oscila cerca de setecentos e poucas vezes por segundo — não é ultra rápido, é uma frequência de áudio.)

Passo 5

Calcular a corrente máxima (responde (c)). Pelo argumento de conservação de energia, a máxima corrente ocorre quando toda a energia está no indutor, então:
\tfrac{1}{2}C V^{2}=\tfrac{1}{2}L I_{\max}^{2}.
Cancelando os \tfrac{1}{2} e isolando I_{\max}:
I_{\max}=V\sqrt{\frac{C}{L}}.
Substituindo os valores:
\frac{C}{L}=\frac{5\times10^{-6}}{10\times10^{-3}}=\frac{5\times10^{-6}}{1\times10^{-2}}=5\times10^{-4}.
\sqrt{\frac{C}{L}}=\sqrt{5\times10^{-4}}=2{,}2360679\times10^{-2}.
Portanto
I_{\max}=30\cdot2{,}2360679\times10^{-2}\approx0{,}671\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Resumo numérico e checagem rápida de unidades: a energia ficou em joules ( \mathrm{J}), a frequência em hertz ( \mathrm{Hz}) e a corrente em ampères ( \mathrm{A}). Os valores fazem sentido dimensionalmente e numericamente para os parâmetros dados.

Resposta

(a) 2{,}25\times10^{-3}\\ \mathrm{J}
(b) 711\\ \mathrm{Hz}
(c) 0{,}671\\ \mathrm{A}

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