Um capacitor de
é carregado até 30 V e é conectado a um indutor de 10 mH . (a) Quanta energia é armazenada no sistema? (b) Qual é a frequência de oscilação do circuito? (c) Qual é a máxima corrente no circuito?
Passo 1
O enunciado dá um circuito LC formado por um capacitor e um indutor e pede três coisas. Dados fornecidos:
- Capacitância:
. - Tensão inicial no capacitor:
. - Indutância:
.
Perguntas do enunciado:
(a) Quanta energia é armazenada no sistema?
(b) Qual é a frequência de oscilação do circuito?
(c) Qual é a máxima corrente no circuito?
(a) Quanta energia é armazenada no sistema?
(b) Qual é a frequência de oscilação do circuito?
(c) Qual é a máxima corrente no circuito?
Passo 2
Entendendo a física básica (aula rápida e amigável): quando o capacitor está carregado e ainda não há corrente, toda a energia do sistema está armazenada no capacitor. Em um circuito ideal LC sem perdas, a energia total fica conservada e oscila entre o capacitor (energia elétrica) e o indutor (energia magnética). As fórmulas fundamentais que vamos usar são:
Energia armazenada no capacitor:
onde
é a energia em joules,
a capacitância em farads e
a tensão em volts.
Energia armazenada no indutor:
onde
é a energia em joules,
a indutância em henries e
a corrente em ampères.
A conservação de energia no circuito ideal implica que a energia total inicial
permanece constante e, no instante em que a corrente atinge seu máximo, toda a energia está em
.
Passo 3
Calcular a energia inicial (responde (a)). Aplicando a fórmula do capacitor:
Substituindo
e
:
Faça as contas passo a passo:
. Então
Portanto a energia armazenada no sistema é
.
Passo 4
Calcular a frequência de oscilação (responde (b)). Para um circuito LC ideal a frequência própria é dada por:
onde
é a frequência angular em
. A frequência em hertz é
Agora substituímos
e
. Primeiro calcule
:
Em seguida
Logo
(Interpretando: o circuito oscila cerca de setecentos e poucas vezes por segundo — não é ultra rápido, é uma frequência de áudio.)
Passo 5
Calcular a corrente máxima (responde (c)). Pelo argumento de conservação de energia, a máxima corrente ocorre quando toda a energia está no indutor, então:
Cancelando os
e isolando
:
Substituindo os valores:
Portanto
Passo 6
Resumo numérico e checagem rápida de unidades: a energia ficou em joules (
), a frequência em hertz (
) e a corrente em ampères (
). Os valores fazem sentido dimensionalmente e numericamente para os parâmetros dados.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)